- 集合与函数的概念
- 共44150题
设集合A={x∈R|
正确答案
解析
解：∵
∵2x＜1，∴B={x|x＜0}，
∴B⊆A．
故选：A．
已知集合A={x|mx2-2x+m=0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为（ ）
正确答案
解析
解：由题意，①当m=0时，方程为-2x=0，解得x=0，满足A={0}仅有两个子集；
②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△=4-4m2=0，解得m=±1；
所以实数m的λ构成的集合为：{0，1，-1}；
故选B．
集合{y∈N|y=-x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
正确答案
解析
解：x=0时，y=6；
x=1时，y=5；
x=2时，y=2；
x=3时，y=-3；
∵函数y=-x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；
∴x≥3时，y＜0；
∴{y∈N|y=-x2+6，x∈N}={2，5，6}；
∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；
∴该集合的真子集个数为7．
故选：C．
已知集合A={1，3，-x3}，B={x+2，1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：若B⊆A，则：
x+2=3，或x+2=-x3；
（1）x+2=3时，x=1；
∴A={1，3，-1}，B={3，1}，满足B⊆A；
（2）x+2=-x3时，x3+x+2=（x3+1）+（x+1）=（x+1）（x2-x+2）=0，x=-1；
∴B={1，1}，不满足集合元素的互异性，即x≠-1；
∴存在实数x=1，使得B是A的子集，且A={1，3，-1}，B={3，1}．
解析
解：若B⊆A，则：
x+2=3，或x+2=-x3；
（1）x+2=3时，x=1；
∴A={1，3，-1}，B={3，1}，满足B⊆A；
（2）x+2=-x3时，x3+x+2=（x3+1）+（x+1）=（x+1）（x2-x+2）=0，x=-1；
∴B={1，1}，不满足集合元素的互异性，即x≠-1；
∴存在实数x=1，使得B是A的子集，且A={1，3，-1}，B={3，1}．
已知集合M={（x，y）|3x+4y-12＜0，x，y∈N*}，则集合M的真子集个数是（ ）
正确答案
解析
解：因为M={（x，y）|3x+4y-12＜0，x，y∈N*}，
所以M={（1，1），（1，2），（2，1）}，
所以M中含有3个元素，
集合M的真子集个数有23-1=7
故选B．
已知集合M={x|1≤x≤8，x∈N}，对于它的非空子集A，将A中的每个元素k，都乘以（-1）k再求和，（如A={1，3，6}，可求和得到（-1）1•1+（-1）3•3+（-1）6•6=2），则对M的所有非空子集，这些和的总和是______．
正确答案
512
解析
解：集合M={x|1≤x≤8，x∈N}，M={1，2，3，4，5，6，7，8}，对它的非空子集A共有255个，
其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了27次
依题意得：27[（-1）1•1+（-1）2•2+（-1）3•3+（-1）4•4+（-1）5•5+（-1）6•6+（-1）7•7+（-1）8•8]=512
故答案为：512．
定义集合运算A⊕B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，若A={1，2，3}，B={0，1}，则A⊕B的子集个数有______个．
正确答案
16
解析
解：由题意得：A⊕B={1，2，3，4}，
∴A⊕B的子集有42=16个，
故答案为：16．
（2015秋•宜春校级期末）设函数y=
（1）当m=3时，求A∪B；
（2）当m＞0时，若A⊆B，求m的取值范围．
正确答案
解：（1）函数y=
∴A∪B=（-∞，1]；
（2）当m＞0时，B=（-∞，
∵A⊆B，∴
解析
解：（1）函数y=
∴A∪B=（-∞，1]；
（2）当m＞0时，B=（-∞，
∵A⊆B，∴
A={x|-2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A⊆B，则a取值范围是______．
正确答案
（-∞，-2）
解析
解：因为A={x|-2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A⊆B，
所以a＜-2，
故答案为（-∞，-2）．
设集合I={1，2，3，4}．选择集合I的两个非空子集A和B，要使集合B中最小的数大于集合A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
正确答案
解析
解：A={1}时，
B可以为{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}；
有3+3+1=7种情况，
A={2}、{1，2}时，
B可以为{4}，{3，4}，{3}；
各有3种情况
A={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，
B只能为{4}，各有1种情况
共计7+2×3+4=17种；
故选B．
设集合A⊆{2，3，5}，则集合A的个数为______；如果集合A中至多有一个奇数，则这样的集合A共有______个．
正确答案
8
6
解析
解：因为集合{2，3，5}的子集有23=8，
所以集合A的个数为：8．
集合A中含有两个奇数有{3，5}，{2，3，5}两个，
所以集合A中至多有一个奇数，则这样的集合A共有6个．
故答案为：8；6．
已知集合A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2-3x=0}，若∅⊊A⊆B，求实数a，b的值．
正确答案
解：由x2-3x=0，解得x=0，或3，∴B={0，3}．
由∅⊊A⊆B，则A有以下3种情况：A={0}，{3}，{0，3}．
①当A={0}时，即方程x2+ax+b=0有两个相等的根，且根为0，
则
②当A={3}时，即方程x2+ax+b=0有两个相等的根，且根为3，
则
③当A={0，3}时，即方程x2+ax+b=0有两个不相等的根0和3，
则
解析
解：由x2-3x=0，解得x=0，或3，∴B={0，3}．
由∅⊊A⊆B，则A有以下3种情况：A={0}，{3}，{0，3}．
①当A={0}时，即方程x2+ax+b=0有两个相等的根，且根为0，
则
②当A={3}时，即方程x2+ax+b=0有两个相等的根，且根为3，
则
③当A={0，3}时，即方程x2+ax+b=0有两个不相等的根0和3，
则
设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是______．（写出所有真命题的序号）
正确答案
①②
解析
解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．
当S为封闭集时，因为x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正确
对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误
取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不属于T，故T不是封闭集，④错误．
集合{0，2}的子集有 ______个．
正确答案
4
解析
解：根据子集的定义有：∅，{0}，{2}，{0，2}共四个
故答案为：4
设非空集合A，B满足A⊆B，则（ ）
正确答案
解析
解：由题意及子集的定义知A⊆B，即∀x∈A，有x∈B
故选B
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