- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知A={x|x＜-1}，B={x|2a-1＜x＜a+1}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．
正确答案
解：分两种情况考虑：
（i）若B不为空集，可得2a-1＜a+1，解得：a＜2，
∵B⊆A，A={x|x＜-1}，B={x|2a-1＜x＜a+1}，
∴a+1≤-1，解得a≤-2，
此时a的范围为a≤-2；
（ii）若B为空集，符合题意，可得2a-1≥a+1，解得：a≥2，
综上，实数a的范围为a≤-2或a≥2．
解析
解：分两种情况考虑：
（i）若B不为空集，可得2a-1＜a+1，解得：a＜2，
∵B⊆A，A={x|x＜-1}，B={x|2a-1＜x＜a+1}，
∴a+1≤-1，解得a≤-2，
此时a的范围为a≤-2；
（ii）若B为空集，符合题意，可得2a-1≥a+1，解得：a≥2，
综上，实数a的范围为a≤-2或a≥2．
已知a＞0，集合M={x|0≤ax+1≤3}，N={x|-1≤x≤4}，若M∪N=N，则实数a的取值范围是______．
正确答案
a≥1
解析
解：由a＞0，0≤ax+1≤3，解得
∵M∪N=N，
∴M⊆N．
∴
∴实数a的取值范围是a≥1．
故答案为：a≥1．
集合{1，2}的非空子集共有 （ ）
正确答案
解析
解：法1：集合的非空子集有：{1}，{2}，{1，2}共3个；
法2：因为集合中有2个元素，所以集合子集有22=4个，则集合的非空子集的个数是4-1=3．
故选B．
已知集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}，则（ ）
正确答案
解析
解：对于集合B={y|x2+y2=1，x∈A}，可分以下情况讨论
①当x=0时，由y2=1可得y=±1；②当x=1时，由y2=0可得y=0．
综上所述，得B={-1，0，1}
∵集合A={0，1}，B={-1，0，1}
∴A是B的真子集，即A⊊B
故选B
已知函数f（x）=
（1）求A∩B，（CUB）∪A；
（2）若C={x|x＜a+1}．C⊆B，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）要使函数有意义，则
即
即A={x|-2＜x≤3}，
∵B={x|x＞5或x＜1}，
∴A∩B={x|-2＜x＜1}，（CUB）∪A={x|1≤x≤5}∪{x|-2＜x≤3}={x|-2＜x≤5}}．
（2）∵C⊆B，∴a+1≤1，
解得 a≤0，
故a的取值范围是（-∞，0]．
解析
解：（1）要使函数有意义，则
即
即A={x|-2＜x≤3}，
∵B={x|x＞5或x＜1}，
∴A∩B={x|-2＜x＜1}，（CUB）∪A={x|1≤x≤5}∪{x|-2＜x≤3}={x|-2＜x≤5}}．
（2）∵C⊆B，∴a+1≤1，
解得 a≤0，
故a的取值范围是（-∞，0]．
设X是包含10个元素的集合，A，B是X中的两个互不相交的子集，分别含有3，4个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集个数是（ ）
正确答案
解析
解：设集合X={a，b，c，d，e，f，g，h，i，j}，
而集合A={a，b，c，d}，集合B={e，f，g}
则包含集合A的集合的个数：C60+C61+…+C66=26=64个，
包含集合B的集合的个数：C70+C71+…+C77=27=128个，
既包含集合A又包含集合B的集合的个数：C30+C31+C32+C33=8个，
而集合X的所有子集一共有210=1024个，
所以X中既不包含A也不包含B的子集个数为：1024-64-128+8=840个．
故选C
已知集合A={x|-4≤x≤-2}，集合B={x|x-a≥0}
（1）若A∩B=A，求a的取值范围
（2）若全集U=R，且A⊆∁uB，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵A∩B=A，
∴A⊆B，
∵A={x|-4≤x≤-2}，集合B={x|x≥a}
∴a≤-4；
（2）∁uB={x|x＜a}，
∵A⊆∁uB，
∴a＞-2．
解析
解：（1）∵A∩B=A，
∴A⊆B，
∵A={x|-4≤x≤-2}，集合B={x|x≥a}
∴a≤-4；
（2）∁uB={x|x＜a}，
∵A⊆∁uB，
∴a＞-2．
设S为集合{1，2，3，…，50}的子集，它具有下列性质：S中任何两个不同元素之和不被7整除，那么S中的元素最多可能有多少个？
正确答案
解：集合{1，2，3，…，50}中所有的数都除以7取余数，可分为7组，即余数分别为0，1，2，3，4，5，6；
其中余数为0时，有{7，14，21，28，35，42，49}共7个；
余数为1时，有{1，8，15，…，50}共8个；
余数为2时，有{2，9，16，…，44}共7个；
余数为3时，有{3，10，17，…，45}共7个；
余数为4时，有{4，11，18，…，46}共7个；
余数为5时，有{5，12，19，…，47}共7个；
余数为6时，有{6，13，20，…，48}共7个；
根据题意知，余数为1和余数为6，余数为2和余数为5，余数为3和余数为4不能同时在S中，余数为0时只能有一个元素在S中；
所以，S最大时，元素应是余数为1时+余数为2时+余数为3（或余数为4）时+余数为0时的一个元素，共23个元素．
解析
解：集合{1，2，3，…，50}中所有的数都除以7取余数，可分为7组，即余数分别为0，1，2，3，4，5，6；
其中余数为0时，有{7，14，21，28，35，42，49}共7个；
余数为1时，有{1，8，15，…，50}共8个；
余数为2时，有{2，9，16，…，44}共7个；
余数为3时，有{3，10，17，…，45}共7个；
余数为4时，有{4，11，18，…，46}共7个；
余数为5时，有{5，12，19，…，47}共7个；
余数为6时，有{6，13，20，…，48}共7个；
根据题意知，余数为1和余数为6，余数为2和余数为5，余数为3和余数为4不能同时在S中，余数为0时只能有一个元素在S中；
所以，S最大时，元素应是余数为1时+余数为2时+余数为3（或余数为4）时+余数为0时的一个元素，共23个元素．
集合A={x|2x≤4}，B={x|0＜log3x＜1}，C={x|x＜a}．
（1）求A∩B；
（2）若A∩C=A，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）集合A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由B中的不等式变形得：log31＜log3x＜log33，得到1＜x＜3，
∴B=（1，3），
∵A=（-∞，2]，
∴A∩B=（1，2]．
（2）∵A∩C=A，
∴A⊆C，
∵A=（-∞，2]，C={x|x＜a}．
∴a＞2．
解析
解：（1）集合A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由B中的不等式变形得：log31＜log3x＜log33，得到1＜x＜3，
∴B=（1，3），
∵A=（-∞，2]，
∴A∩B=（1，2]．
（2）∵A∩C=A，
∴A⊆C，
∵A=（-∞，2]，C={x|x＜a}．
∴a＞2．
已知集合A={a，b，c}，则集合A的非空真子集的个数是 ______．
正确答案
6
解析
解：法1：集合A的非空真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}共6个；
法2：因为集合A中有3个元素，所以集合A子集有23=8个，则集合A的非空真子集的个数是8-2=6．
故答案为：6
已知集合A={2，3，4}，B={1，2，3，4，5}，写出集合A∩B的所有子集，并指出其中的真子集．
正确答案
解：∵A={2，3，4}，B={1，2，3，4，5}，
∴A∩B={2，3，4}，
则集合A∩B的所有子集是：∅，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}．
其中∅，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}为真子集．
解析
解：∵A={2，3，4}，B={1，2，3，4，5}，
∴A∩B={2，3，4}，
则集合A∩B的所有子集是：∅，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}．
其中∅，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}为真子集．
设集合A={x|（x+3）（x-4）≤0}，集合B={x|m-1≤x≤3m-2}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为______．
正确答案
m≤2
解析
解：集合A={x|（x+3）（x-4）≤0}=[-3，4]，
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当B为空集时，m-1＞3m-2，可得m＜
当B不是空集时，m
所以：m≤2．
故答案为：m≤2．
下列说法正确的题号为______．
①集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则-3≤a≤3
②函数y=f（x）与直线x=l的交点个数为0或l
③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称
④
⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为y=-f（2-x）．
正确答案
②③
解析
解：①集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，需要考虑集合B为空集，则a≤3，故不正确；
②函数y=f（x）与直线x=l的交点个数为0或l，根据函数的定义可知正确；
③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称，根据函数的对称性可知正确；
④函数y=lg（x2+x+a）的值域为R，a≤
⑤设所求函数图象上一点（x，y）关于点（1，-1）的对称点是（2-x，-2-y）与函数对称的函数为y=-2-f（2-x），故不正确；
故答案为：②③
已知集合A={x|x2-2x-3=0}，集合B={-1，0，1，2，3}，且集合M满足A⊆M⊆B，则M的个数为（ ）
正确答案
解析
解：A={-1，3}，A⊆M；
∴-1∈M，3∈M；
又M⊆B；
∴0，1，2，可能是M的元素；
∴M的个数为：
故选：C．
下列六个关系式，其中正确的有（ ）
①{a，b}={b，a}；
②{a，b}⊆{b，a}；
③∅={∅}；
④{0}=∅；
⑤∅⊊{0}；
⑥0∈{0}．
正确答案
解析
解：由集合中元素的无序性可知①正确；
由A⊆A知②正确；
对于③，{∅}表示集合中只有∅一个元素，而∅无任何元素，故③错误；
同理可知④错误；⑤正确；⑥正确．
综上所述，正确的有①②⑤⑥．
故选C．
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