- 集合与函数的概念
- 共44150题
例2．已知A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-（a+1）x+a≤0}，（1）若A不属于B，求a的取值范围．（2）若B⊆A，求a的取值范围．
正确答案
解：A={x|1≤x≤2}，
当a＞1时，B={x|1≤x≤a}；当a=1时，B={1}；当a＜1时，B={x|a≤x≤1}．
（1）若A⊄B，则
（2）若B⊆A，
当a=1时，满足题意；当a＞1时，a≤2，此时1＜a≤2；当a＜1时，不合题意．
所以，a的取值范围为[1，2）．
解析
解：A={x|1≤x≤2}，
当a＞1时，B={x|1≤x≤a}；当a=1时，B={1}；当a＜1时，B={x|a≤x≤1}．
（1）若A⊄B，则
（2）若B⊆A，
当a=1时，满足题意；当a＞1时，a≤2，此时1＜a≤2；当a＜1时，不合题意．
所以，a的取值范围为[1，2）．
设集合A={x|x2-5x-6=0}，B={x|ax2-x+6=0}，若A⊇B，试确定实数a的取值范围．
正确答案
解：A={6，-1}
因为A⊇B，所以B可能为空集或{-1}或{6]或{-1，6}
第一种情况：B=空集，△=1-24a＜0，且a≠0，所以a＞
第二种情况：方程只有一个解，a=0符合，
a≠0，△=1-24a=0，a=
第三种情况：B={-1，6}，则-6=
综上，a＞
解析
解：A={6，-1}
因为A⊇B，所以B可能为空集或{-1}或{6]或{-1，6}
第一种情况：B=空集，△=1-24a＜0，且a≠0，所以a＞
第二种情况：方程只有一个解，a=0符合，
a≠0，△=1-24a=0，a=
第三种情况：B={-1，6}，则-6=
综上，a＞
已知集合A={x|x＜0}，B={z|z=
正确答案
{m|m≤-
解析
解：根据条件，
∴
∵x＞2；
∴
∵x＞2；
∴
∴由（1）得
由（2）得
∴实数m的取值范围为{m|
故答案为：
下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、∁U（∁UP）=p，∵{P}，∴p∈{P}，故A错误；
B、集合M中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B，故B错误；
C、∵∁RQ为无理数集，而Q为有理数集，故C错误；
D、∵N={1，2，3}，S={x|x⊆N}，∴N的所有子集构成集合S，∴N∈S，故D正确；
故选D．
已知集合A={x|x2-16＜0}，B={x|x2-4x+3＞0}，C={x|2x-m＞2}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若A⊆C，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意 A={x|（x-4）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜4}，
B={x|（x-1）（x-3）＞0}={x|x＜1或x＞3}，
故A∩B={x|-4＜x＜1或3＜x＜4}．
（Ⅱ）由题设知
由A⊆C，有
解得m≤-10．
解析
解：（Ⅰ）依题意 A={x|（x-4）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜4}，
B={x|（x-1）（x-3）＞0}={x|x＜1或x＞3}，
故A∩B={x|-4＜x＜1或3＜x＜4}．
（Ⅱ）由题设知
由A⊆C，有
解得m≤-10．
（2015秋•冀州市校级月考）如果M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-2b+2，b∈N*}，则M和P的关系为M______P．
正确答案
⊊
解析
解：M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-2b+2，b∈N*}={y|y=（b-1）2+1，b∈N*}，
M中的元素是一个正整数的平方加上1，
P中的元素是一个自然数的平方加上1，
故P比M只是多了0的平方加1这个元素，
因此M⊊P，
故答案为：⊊
已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x＜a}，若A⊊B，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：A={1，2}；
∵A⊊B；
∴a≥2．
故选：D．
非空集合X={x|a+1≤x≤3a-5}，Y={x|1≤x≤16}，使得X⊆（X∩Y）成立的所有a的集合是（ ）
正确答案
解析
解：∵X⊆（X∩Y）成立，
∴X⊆Y成立．
∵X≠∅，要使X⊆Y，
则
即
∴3≤a≤7，
故选：A．
设不等式
（1）若A∪B=A，求实数a的取值范围；
（2）若A⊆（∁RB）；求实数a的取值范围．
正确答案
解：由不等式
（1）A∪B=A，∴B⊆A，∴
（2）∁RB=|x|x＜1-a或x＞2-a}，∵A⊆（∁RB），∴1-a≥4或2-a＜0，
∴a≤-3或a＞2．
解析
解：由不等式
（1）A∪B=A，∴B⊆A，∴
（2）∁RB=|x|x＜1-a或x＞2-a}，∵A⊆（∁RB），∴1-a≥4或2-a＜0，
∴a≤-3或a＞2．
A={x|1＜x＜6}，B={x|x＞a}，A⊆B，则a的取值范围是______．
正确答案
a≤1
解析
解：∵集合A={x|1＜x＜6}，B={x|x＞a}，A⊆B，
∴a≤1．
∴a的取值范围是a≤1．
故答案为：a≤1．
设集合A={x|a-2＜x＜a+2}，B={x|-2＜x＜3}，若A⊊B，求实数a的取值范围．
正确答案
解：∵A={x|a-2＜x＜a+2}，B={x|-2＜x＜3}，且A⊊B
只需满足不等式-2≤a-2＜a+2≤3
解得：0≤a≤1，
∴实数a的取值范围为[0，1]．
解析
解：∵A={x|a-2＜x＜a+2}，B={x|-2＜x＜3}，且A⊊B
只需满足不等式-2≤a-2＜a+2≤3
解得：0≤a≤1，
∴实数a的取值范围为[0，1]．
已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是
（Ⅰ）判断函数y=-x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]；
（Ⅱ）若函数
正确答案
∵y′=-3x2≤0，∴y=-x3在R上是单调减函数．
则y=-x3在[a，b]上的值域是[-b3，-a3]．
由
∴函数y=-x3属于集合M，且这个区间是
（Ⅱ）设
∵g（x）∈M，∴存在区间[a，b]⊂[1，+∞），满足
即方程
[法一]：方程
等价于方程
即方程x2-（4t+4）x+4t2+4=0在[2t，+∞）内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有
解得
因此，实数t的取值范围是
[法二]：要使方程
即使方程
如图，当直线
当直线
方程
因此，利用数形结合得实数t的取值范围是
解析
∵y′=-3x2≤0，∴y=-x3在R上是单调减函数．
则y=-x3在[a，b]上的值域是[-b3，-a3]．
由
∴函数y=-x3属于集合M，且这个区间是
（Ⅱ）设
∵g（x）∈M，∴存在区间[a，b]⊂[1，+∞），满足
即方程
[法一]：方程
等价于方程
即方程x2-（4t+4）x+4t2+4=0在[2t，+∞）内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有
解得
因此，实数t的取值范围是
[法二]：要使方程
即使方程
如图，当直线
当直线
方程
因此，利用数形结合得实数t的取值范围是
已知集合A=x|-1≤x＜2，B=x|x＜a，若A∩B≠∅，则（ ）
正确答案
解析
解：∵已知集合A={x|-1≤x＜2}
B={x|x＜a}，且A∩B≠∅，
∴a＞-1
即a的取值范围为：
{a|a＞-1}
故选D
设A={x|2014≤x≤2015}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，
则a＞2015，
故选B．
已知集合A={1，2}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x+
正确答案
解：∵B∩C⊆A，集合A={1，2}，C={x|x+
B={x|x2-ax+a-1=0}={x|（x-1）（x+1-a）=0}，
∴当a≠2时，B={1，a-1}；
当a=2时，B={1}；
∵B∩C⊊A，
∴①若B∩C={1}，则1+2=m，∴m=3；
②若B∩C={a-1}，则a-1=2，解得a=3，此时m=2+1=3，
这种情况下，B={1，2}，C={1，2}，B∩C={1，2}，与B∩C={a-1}={2}矛盾，故不可以；
③若B∩C=A={1，2}，可得a=3，m=3．
综上所述，a=2或3，m=3．
解析
解：∵B∩C⊆A，集合A={1，2}，C={x|x+
B={x|x2-ax+a-1=0}={x|（x-1）（x+1-a）=0}，
∴当a≠2时，B={1，a-1}；
当a=2时，B={1}；
∵B∩C⊊A，
∴①若B∩C={1}，则1+2=m，∴m=3；
②若B∩C={a-1}，则a-1=2，解得a=3，此时m=2+1=3，
这种情况下，B={1，2}，C={1，2}，B∩C={1，2}，与B∩C={a-1}={2}矛盾，故不可以；
③若B∩C=A={1，2}，可得a=3，m=3．
综上所述，a=2或3，m=3．
扫码查看完整答案与解析