集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）

（1）求f（1）；

（3）证明f（x）在定义域上是增函数；

（3）如果f()=-1，求满足不等式f(x)-f()≥2的x的范围．

正确答案

（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），

∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0．

（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，

则＞1，

∴f（）＞0，

∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（•x1）=f（x1）-f（）-f（x1）=-f（）＜0

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（3）令x=，y=1得，f（×1）=f（）+f（1），∴f（1）=0．

令x=3，y=得，f（1）=f（3×）=f（3）+f（），

∵f()=-1，∴f（3）=1．

令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，

∴f（x）-f（）≥f（9），f（x）≥f（）

∴，

解得x≥1+．

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)=+2x2-5x+4的最小值为______．

正确答案

由已知，⇒∴x≥4或x≤0．

又x∈[4，+∞）时，f（x）单调递增，⇒f（x）≥f（4）=2+1；

而x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；

故最小值2+1

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题型：简答题

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简答题

定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：

①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有f(x)＞．

（1）求f（0）的值；

（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；

（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a2-2a-9）≤8．

正确答案

（1）令x=0，y=1，

则f（1）=2f（0）•f（1），

∵f(1)＞，

∴f(0)=．…（4分）

（2）∵当x＞0时，恒有f(x)＞，又f（x）是偶函数，

∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞，

又f(0)=，f（x）＞0恒成立．…（6分）

设0≤x1＜x2，则x2-x1＞0，f(x2-x1)＞，

∴f（x2）=2f（x1）f（x2-x1）＞f（x1），…（9分）

∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）

（3）令x=y=3，则f（6）=2f2（3）=8，…（12分）

∴f（a2-2a-9）=f（|a2-2a-9|）≤f（6），

由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，

得|a2-2a-9|≤6，…（14分）

即，

解得，

∴-3≤a≤-1或3≤a≤5．…16 分

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题型：填空题

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填空题

设x＞-1，函数y=的最小值是______．

正确答案

设t=x+1（t＞0），则

y=f(t)==

整理得：f(t)=(t+) +5

∵t＞0

∴t+≥ 2

所以f(t)=(t+) +5≥2+5=9

当且仅当t==2时，函数有最小值

此时x=1

因此函数y=当x=1时有最小值为9

故答案为：9

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有 ______（请将你认为正确命题的序号都填上）

①当b＞0时，函数f（x）在R上是单调增函数；

②当b＜0时，函数f（x）在R上有最小值；

③函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；

④方程f（x）=0可能有三个实数根．

正确答案

①当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=，知函数f（x）在R上是单调增函数；

②当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=值域是R，故函数f（x）在R上没有最小值；

③若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（-x）=-f（x）），也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．

④令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以正确．

故答案为：①③④．

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题型：简答题

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简答题

函数f（x）的定义域为R，并满足条件：

①对任意x∈R，有f（x）＞0；

②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]y；

③f()＞1．

（1）求f（0）的值；

（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数．

正确答案

（1）令x=0，y=2，则f（0）=[f（0）]2

∵f（0）＞0，∴f（0）=1

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2

设x1=P1，x2=P2，则P1＜P2

∴f(x1)-f(x2)=f(P1)-f(P2)=[f()]P1-[f()]P2

∵f()＞1，P1＜P2，∴[f()]P1＜[f()]P2

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是单调递增函数．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=x2++alnx(x＞0)，

（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式[f(x1)+f(x2)]≥f()成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

正确答案

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=ax+（a＞1），求证：

（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；

（2）方程f（x）=0没有负数根．

正确答案

证明：（1）设-1＜x1＜x2，

则f(x1)-f(x2)=ax1+-ax2-

=ax1-ax2+-=ax1-ax2+，

∵-1＜x1＜x2，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＜0，

∴＜0；

∵-1＜x1＜x2，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；

（2）假设x0是方程f（x）=0的负数根，且x0≠-1，则ax0+=0，

即ax0===-1，①

当-1＜x0＜0时，0＜x0+1＜1，∴＞3，

∴-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；

当x0＜-1时，x0+1＜0，∴＜0，∴-1＜-1，而ax0＞0．

∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=(a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x）有最大值，且f(1)＞，试求函数f（x）的解析式．

正确答案

由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即+=0，

∴c=0．

又a＞0，b是自然数，

∴当x＜0时，f（x）＜0，

当x＞0时，f（x）＞0，

故f（x）的最大值必在x＞0时取得；

当x＞0时，f（x）==≤，

当且仅当ax=，即x=时取得=，即a=b2，

又f（1）＞，

∴＞，

∴2b2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

∴＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1，

∴f（x）=．

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题型：填空题

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填空题

知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）图象如图，则y=ax2+bx+的单调增区间______．

正确答案

由已知中f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）图象

∴f′（x）=3ax2+2bx+c（a＞0）的对称轴x==

则y=ax2+bx+的图象是开口朝上，且以x=为对称轴的抛物线

则y=ax2+bx+的单调增区间为[，+∞)

故答案为：[，+∞)

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

解法一：由条件得1-ax-x2＜2-a对于x∈[0，1]恒成立

令g（x）=x2+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．

g（x）=x2+ax-a+1=（x+）2--a+1．

①当-＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；

②当0≤-≤1，即-2≤a≤0时，g（x）min=g（-）=--a+1＞0，∴-2-2＜a＜-2+2，故-2≤a≤0；

③当-＞1，即a＜-2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜-2．

故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．

解法二：由1-ax-x2＜2-a得（1-x）a＜x2+1，

∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，

∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；

②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．

求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．

令t=1-x（t∈（0，1]），则y===t+-2，

而函数y=t+-2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，ymin=1．

故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，

由①②得a＜1．

故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．

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题型：填空题

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填空题

设x，y为实数，且满足，则x+y=______．

正确答案

方程组可化为

设f（t）=t3+1997t+1，则f′（t）=3t2+1997＞0，所以函数f（t）为单调递增函数

∴x-1=1-y

∴x+y=2

故答案为：2

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题型：简答题

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简答题

设a∈R，f(x)＝ (x∈R)，试确定a的值，使f(x)为奇函数；

正确答案

a＝1.

要使f(x)为奇函数，

∵x∈R，∴需f(x)＋f(－x)＝0.

∵f(x)＝a－，∴f(－x)＝a－＝a－.

由＝0，得2a－＝0，∴a＝1

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题型：简答题

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简答题

已知f(x)=2x+，且f(0)=2

（1）求m的值；

（2）判断f（x）的奇偶性．

正确答案

（1）∵f(x)=2x+，f（0）=2，∴1+m=2，∴m=1；

（2）函数的定义域为R，

∵f(-x)=2-x+=+2x=f（x）

∴函数f（x）是偶函数．

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题型：简答题

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简答题

已知偶函数y=f(x)定义域是[－3，3]，当时，f(x)=－1.

（1）求函数y=f(x)的解析式；

（2）画出函数y=f(x)的图象，并利用图象写出函数y=f(x)的单调区间和值域.

正确答案

(1) ;

(2)由图象得该函数的单调递减区间是，单调递增区间是,值域为

试题分析：(1)因为函数是偶函数,所以有,取,则,所以,从而,故求得所求函数解析式为;

(2)先作出函数的图像,再将其图像向下平移一个单位长度,得到函数的图像,再由偶函数关于轴对称性,作出函数,从而得到所求函数图像.

试题解析：(1) 设x<0，则－x>0.

由y=f(x)是偶函数，得f(x)=f(－x)=－1 3分

所以， 4分

(2)画图 6分

由图象得该函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 8分

函数的值域为 10分

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