热门试卷

（1）F(x)==x+-2a，任取x1，x2∈[a，+∞），且x1＜x2，

则F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(-)=(x2-x1)•，…（3分）

因为 a＞0，x1≥a，x2≥a且x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞a2，…（4分）

所以F（x2）-F（x1）＞0，所以函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数．…（6分）

（2）原方程为（x-a）2=|x|，

①当a=0时，原方程变为x2=|x|，有-1，0，1三个解；…（8分）

②当a＜0时，函数y=（x-a）2与y=|x|的图象在x＜0时有两个交点，所以原方程在x＜0时有两个不相等的实数解，要使原方程在x＞0时恰有一个解，当且仅当函数y=（x-a）2与y=|x|的图象在x＞0时有且仅有一个公共点，即方程（x-a）2=x的判别式等于0，即（2a+1）2-4a2=0，解得a=-；…（10分）

③同理，当a＞0时，原方程在x＞0时有两个不相等的实数解，要原方程在x＜0时恰有一个解，当且仅当方程（x-a）2=-x的判别式等于0，即（2a-1）2-4a2=0，

解得a=．…（12分）

综上，a的值所组成的集合为{-，0，}．…（14分）

（1）由题意，有πr2+πr=πa2（3分）

所以h=..（6分）

（2）因为V圆锥=πr2h=πr2()=π，（10分）

所以当r2==，即r=时，V圆锥取到最大值，最大值等于πa3．（14分）

（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），

点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上（3分）

∴2-y=-x++2，

∴y=x+，即f(x)=x+（6分）

f（x）的定义域为：{x|x≠0），值域为：{x|x≤0或x≥4}

（2）由题意  g(x)=x+，且g(x)=x+≥6

∵x∈（0，2]

∴a+1≥x（6-x），即a≥-x2+6x-1，（9分）

令q（x）=-x2+6x-1，x∈（0，2]，q（x）=-x2+6x-1=-（x-3）2+8，

∴x∈（0，2]时，q（x）max=7（11分）

∴a≥7（13分）

方法二：q′（x）=-2x+6，x∈（0，2]时，q′（x）＞0

即q（x）在（0，2]上递增，

∴x∈（0，2]时，q（x）max=7

即  a≥x2-1在x∈（0，2]时恒成立．

∵x∈（0，2]时，（x2-1）max=3

∴a≥3

∴a≥7

函数y=-x3+1在x∈R上是减函数．

证明：设x1＜x2

y1-y2=x23-x13=（x2-x1）（x22+x2x1+x12）═（x2-x1）[（x2+x12）2+x12]

∵x1＜x2

∴x2-x1＞0，（x2+x12）2+x12＞0

∴y1-y2＞0

∴函数y=-x3+1在R上是减函数．

（1）2x＞|x-2|⇔-2x＜x-2＜2x，得解集为(，+∞)…（4分）

（2）F（x）=ax-|x-a|，

当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，

所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）

当a≠0，F（a）=a2，F（-a）=-a2-2|a|

∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0

  F（a）-F（-a）=2a2+2|a|≠0

所以，F（x）为非奇非偶函数．  …（10分）

（3）G(x)=ax|x-a|=，…（12分）

①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．

当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）

②当a＜0时，G（x）在[a，]上递增，在[，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分）

（1）f（x）+f（1-x）

=+

=+

=

=1．

f()+f()+f()+…+f()

=[f() +f() ]+[f()+f() ]+[f() +f() ]+[f() +f() ]+f()

=4+

=．

（2）假设存在自然数a，使＞n2对一切n∈N都成立．

由f(n)=，f(1-n)=

得=…==an，

当a=1，2时，不等式an＞n2显然不成立．

当a≥3时，an≥3n＞n2，

当n=1时，显然3＞1，

当n≥2时，3n=(1+2)n=1+×2+×22+…≥1+2n+4×=2n2+1＞n2成立，

则 3n＞n2对一切n∈N都成立．

所以存在最小自然数a=3．

（3）由3n＞n2⇒3n2＞n（n∈N），

所以312＞1＞0，322＞2＞0，…，3n2＞n＞0，

相乘得312(1+2+…+n)＞n!，3n(n+1)4＞n!，(n+1)nlg3＞lgn!成立．