热门试卷

解析：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log2（x+1）

∴f（0）=0…（2分）

f（-1）=f（1）=1…（4分）

（2）令x＜0，则-x＞0f（-x）=log2（-x+1）=f（x）

∴x＜0时，f（x）=log2（-x+1）…（8分）

∴f(x)=…（10分）

（3）∵f（x）=log2（x+1）在[0，+∞）上为减函数，

∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．

由于f（a-1）＜f（3-a）

∴|a-1|＜|3-a|…（14分）

∴a＜2…（16分）

设x1，x2是R上任意两个值，且x1＜x2

则f（x1）-f（x2）=-x13+1-（-x23+1）=x23-x13

=（x2-x1）（x22+x1x2+x12）

=（x2-x1）[（x22+）2+）]

∵x1，x2是R上任意两个值，且x1＜x2

∴（x2-x1）＞0，[（x22+）2+）]＞0

∴f（x1）＞f（x2）

∴y=f（x）是R上的减函数

证明：（I）f（x）在（-1，1）上递减

函数的定义域为解得x∈（-1，1）

∵f′(x)=--ln10＜0

∴f（x）在（-1，1）上递减

（II）∵f（x）与f-1（x）的单调性相同

∴f-1（x）在定义域上递减

∵f(0)=

∴f-1()=0

∴f-1（x）=0有解，且唯一

（III）原不等式同解于f[x(x-)]＜f(0)

∵f（x）在（-1，1）上递减

∴解得

＜x＜或＜x＜0

∴解集为{x|＜x＜或＜x＜0}．

（1）2sin2x-3sinx+1=a-sinx化为2sin2x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解

换t=sinx则2t2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：

①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0

∴a∈（1，5）或a=

②当t=-1时，x有惟一解x=

③当t=1时，x有惟一解x=

故a∈（1，5）或a=；

（2）当x1∈[0，3]时，f（x1）值域为[-，10]，

当x2∈[0，3]时，x2-∈[-，3-]，有sin（x2-）∈[-，1]

①当k＞0时，g（x2）值域为[-k，k]

②当k＜0时，g（x2）值域为[k，-k]

而依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集

∴或  

∴k≥10或k≤-20．

（I）证明：∵x＞0，∴f(x)=

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．

由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和-1=1-，即+=2．

∴2ab=a+b＞2．…（3分）

故＞1，即ab＞1．…（4分）

（II）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f(x)=|1-|的定义域、值域都是[a，b]，

则a＞0，f(x)=

①当a，b∈（0，1）时，f(x)=-1在（0，1）上为减函数．

故，即，解得a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）

②当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-在（1，+∞）上是增函数．

故，即

此时a，b是方程x2-x+1=0的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）

③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）

（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

则a＞0，m＞0．

①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故．

此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．

②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

故只有a，b∈[1，+∞）．

∵f(x)=|1-|在[1，+∞）上是增函数，

∴，即

∴a，b是方程mx2-x+1=0的两个根，即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根．…（12分）

设这两个根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．

∴，即

解得0＜m＜．

故m的取值范围是0＜m＜．…（14分）