- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知函数f(x)=
（1）判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求满足f（x）≥0的实数x的取值范围．
正确答案
（1）函数为奇函数；
函数的定义域为（-2，0）∪（0，2），函数可化为f(x)=
∵f(-x)=
∴f（x）是奇函数
（2）∵f（x）≥0，∴
已知定义在R上的奇函数f（x）单调递增，若f（x2-2x+a）+f（2-ax）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为______．
正确答案
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）单调递增，
若f（x2-2x+a）+f（2-ax）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，
即f（x2-2x+a）＞-f（2-ax）=f（ax-2）
即x2-2x+a＞ax-2
即x2-2x+2＞ax-a
即a＜
∵x∈（1，+∞）时，（x-1）+
故a＜2
故实数a的取值范围为（-∞，2）
故答案为：（-∞，2）
已知b函数f（x）=
（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）当a=
正确答案
（1）当a＜0时，函数f（x）是[1，+∞）单调增函数．（1分）
证明：任取x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
∵x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，a＜0
∴
∴f（x1）＜f（x2）
由单调性定义知f（x）为[1，+∞）单调增函数．（8分）
（2）当a=
∴当x=1时，f（x）的最小值为f(1)=
又f（x）无最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值为
（若用导数处理则类似给分）
对于任意的两个实数对（a，b）（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；
定义运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad），
运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d）．
设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=______．
正确答案
∵（1，2）⊗（p，q）=（5，0），
∴（p-2q，2p+q）=（5，0）
∴p-2q=5，2p+q=0
解得p=1，q=-2
∴（1，2）⊕（p，q）=（1，2）⊕（1，-2）=（2，0）
故答案为（2，0）
记min{p，q}=
（1）若函数f(x)=min{
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2为实数，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
正确答案
（1）f（x）=
=
（2）由f（x）的定义可知，f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|（对所有实数x）
即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*） 8分
由于|x-p1|-|x-p2|≤|（x-p1）-（x-p2）|=|p1-p2|（x∈R）的最大值为|p1-p2|，
故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p1-p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件 11分
（3）1°如果|p1-p2|≤log32，则的图象关于直线x=p1对称．因为f（a）=f（b），
所以区间[a，b]关于直线x=p1对称．因为减区间为[a，p1]，增区间为[p1，b]，
所以单调增区间的长度和为
2°如果|p1-p2|＞log32．
（1）当p1-p2＞log32时．f1（x）=
当x∈[p1，b]，
故f（x）=f1（x）=3x-p1，当x∈[a，p2]，
所以f1（x）＞f2（x）故f（x）=f2（x）=3p2-x+log32
因为f（a）=f（b），所以3b-p1=3p2-a+log32，即a+b=p1+p2+log32
当x∈[p2，p1]时，令f1（x）=f2（x），则3p1-x=3x-p2+log32，所以x=
当x∈[p2，
=b-
（2）当p2-p1＞log32时．类似可求得：f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p2+
综上得f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为
已知函数f（x）=log12（x+1），当点P（x0，y0）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（
（1）若点P坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值．
正确答案
（1）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为(
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=log12(-1+
（根据函数y=f（x）的单调性求得t=0，请相应给分）
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则
而P（x0，y0）在y=f（x）的图象上，∴y0=log12(x0 +1)
代入得，y=g(x)=log12(2x+t)为所求．
（3）h(x)=log12
如：当h(x)=log12
f（x）+g（x）+h（x）=log12 (x+1)+log12(2x+t)+log12
∵1-x2在[0，1）单调递减，∴0＜1-x2≤1故log12(1-x2)≥0，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但没有最大值．
函数f(x)=
正确答案
根据题意，由增函数的定义知，此函数是一个增函数；
故有
则a的取值范围是[-1，3）
故答案为[-1，3）
已知函数f(x)=
正确答案
f（0）=
又∵f（x）+f（1-x）=
Sk-1=f(
Sk-1=f(
2Sk-1=k-1
∴Sk-1=
故答案为1，
f（x）满足∀x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=
正确答案
因为f（x）满足∀x∈R，f(x)≥0，f(x+1)=
f2（x）+f2（x-1）=7 ②
①-②得：f2（x+1）-f2（x-1）=0⇔f（x+1）+f（x-1）=0（舍）或f（x+1）-f（x-1）=0，
由f（x+1）-f（x-1）=0，式子中的x被x+1代替得：f（x+2）=f（x），利用函数的周期的定义可知函数f（x）的周期T=2，
所以则f(2011-
又因为当x∈[0，1）时，f(x)=
故答案为：
y=x2ex的单调递增区间是 ______．
正确答案
由y=x2ex得其导数y'=2xex+x2ex，
令y'≥0，即2xex+x2ex≥0
可得2x+x2≥0，
解得x≥0或者x≤-2
故y=x2ex的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞）
故答案为（-∞，-2），（0，+∞）．
函数y=-
正确答案
因为函数y=-
所以y=-2x2+ax在（0，+∞）上的单调性为单调减
故答案为：减函数
已知函数f（x）在R上是减函数，A（0，-2），B（-3，2）是其图象上的两点，那么不等式-2＜f（x）＜2的解集是 ______．
正确答案
由题意得 f（0）=-2，f（-3）=2，所以-2＜f（x）＜2 转化为f（0）＜f（x）＜f（-3），
又因为函数f（x）在R上是减函数，所以-3＜x＜0
故答案为：{x|-3＜x＜0}．
某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元）．
（ I）该厂从第几年开始盈利？
（ II）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
正确答案
（ I）依题意，根据f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元
可得f（n）=50n-[12n+
由f（n）＞0，即-2n2+40n-72＞0
解得2＜n＜18
由于n∈N+，故从第三年开始赢利．
（II）年平均纯利润
∵n+
∴40-2(n+
∴
当且仅当n=6时等号成立，此时年平均纯利润最大值为16万元，
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元．
已知函数f（x）=
（1）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并给出证明；
（2）是否存在负数x0，使得f（x0）=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）f(x)=
下面用定义给出证明：
设x1＜x2＜-1，则f(x1)-f(x2)=
∵x2-x1＞0，x1+1＜0，x2+1＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数．
（2）∵x0＜0时，0＜3x0＜1，
由（1）知，f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上为减函数，
当x＜-1时，f（x）＜-1，当-1x＜0时，x＞2，故当x0＜0时，f（x）＞2或f（x）＜-1，
故不存在负数x0，使得f（x0）=3x0成立．
已知f（x）=
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明y=f（x）在（-1，0）上的单调性．
正确答案
（1）因为f（x）=
所以
所以，f（x）=
（2）f(x)=
证明：任取x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=
=
=
因为x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，
所以1-x1x2＞0，x1-x2＜0．
所以，f(x1)-f(x2)=
即f（x1）＜f（x2）．
所以，函数y=f（x）在（-1，0）上的单调递增．
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