集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=3x-1，则f(log1336)的值______．

正确答案

∵f（x）奇函数，∴f（-x）=-f（x）

又∵当x∈[0，1]时，f（x）=3x-1，

当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]

此时-f（x）=f（-x）=3-x-1

∴f（x）=1-3-x

又∵-3=log1327＞log1336＞log1381=-4

∴-1＜log1336+3＜0

又由f（x+3）=f（x）

得f(log1336)=f(log1336+3)=1-3-(log1336+3)=1-=-

故答案为：-

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题型：填空题

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填空题

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-3，则f（-2）=______．

正确答案

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

当x＞0时，f（x）=x2-3，

∴f（2）=22-3=1

∴f（-2）=-f（2）=-1，

故答案为：-1

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题型：简答题

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简答题

已知tanα=-，cosβ=，α，β∈（0，π）

（1）求tan（α+β）的值；

（2）求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值．

正确答案

（1）由cosβ=，β∈（0，π）

得sinβ=，所以tanβ=2，

于是tan（α+β）===1．

（2）因为tanα=-，α∈(0，π)

所以sinα=，cosα=-f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx

故f（x）的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

证明：函数 f（x）=x2-1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．

正确答案

证明：∵f（-x）=（-x）2-1=x2-1=f（x），

∴函数 f（x）=x2-1是偶函数；

又当x≥0时，f′（x）=2x≥0，

∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，即f（x）在[0，+∞）上是增加的．

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题型：填空题

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填空题

若f（x）=|2x-1|-1，则f（-1）=______．

正确答案

f（-1）=|2×（-1）-1|-1=3-1=2

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=那么f（-1）+f（1）=______．

正确答案

已知函数f(x)=，那么f（-1）=-2-1=-3，f（1）=1-2=-1，

故f（-1）+f（1）=-3-1=-4，

故答案为-4．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1）．

（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；

（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．

正确答案

（1）因为|x-4|+|x-a|≥|x-4-（x-a）|=|a-4|，…（3分）

所以|a-4|=3，即 a=7，或 a=1． …（5分）

由a＞1知 a=7．…（6分）

（2）当x≤4时，不等式化为-2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）

当4＜x＜7时，不等式化为 3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）

当x≥7时，不等式化为 2x-11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）

综上，不等式f（x）≤5 的解集为 {x|3≤x≤8}． …（10分）

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题型：填空题

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填空题

函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1．f（4）=5，则不等式f（3m2-m-2）＜3的解集为______

正确答案

∵对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1

∴f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5即f（2）=3

∵f（2）=3，f（4）=5，函数f（x）是R上的单调函数

∴函数f（x）是R上的单调增函数

∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）即3m2-m-2＜2

解得m∈(-1，)

故答案为(-1，)

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题型：填空题

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填空题

f(x)=，则f[f()]=______．

正确答案

因为：＞0，

∴f（）=log2 12=-1；

∴f（f（））=f（-1）=3-1=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

利用函数的单调性定义证明函f(x)=，x∈[2，4]是单调递减函数，并求函数的值域．

正确答案

证明：在[2，4]上任x1，x2．x1＜x2，f（x1）=，f（x2）=

∴f(x1)-f(x2)=-=

∵2≤x1＜x2≤4，∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是在[2，4]上的减函数

当x=2时函数取最大值2，当x=4时函数取最小值

因此，函数的值域[，2]．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ

（1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；

（2）当θ变化时，求的最小值．

正确答案

（1）由题得：AC=atanθ

∴f（θ）=a2tanθ（0＜θ＜）

设正方形的边长为x，则BG=，由几何关系知：∠AGD=θ

∴AG=xcosθ 由BG+AG=a⇒+xcosθ=a⇒x=

∴g（θ）=（0＜θ＜）

（2）==1++ 令：t=sin2θ

∵0＜θ＜

∴t∈（0，1]∴y=1++=1+（t+）∵函数y=1+（t+）在（0，1]递减

∴ymin=（当且仅当t=1即θ=时成立）

∴当θ=时，的最小值为．

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题型：简答题

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简答题

如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．

（1）将总运费y表示为x的函数；

（2）如何选点M才使总运费最小？

正确答案

（1）依题中，铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，

将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，

且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4

∴铁路AM上的运费为2（80-x），公路MC上的运费为4，

则由A到C的总运费为y=2（80-x）+4（0≤x≤80）…（6分）

（2）y′=-2+（0≤x≤80），

令y′=0，

解得x=，或x=-（舍）…（9分）

当0≤x≤时，y′≤0；当≤x≤80时，y′≥0

故当x=时，y取得最小值．…（12分）

即当在距离点B为时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…（13分）

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题型：填空题

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填空题

已知函数满足且当时总有，其中.

若，则实数的取值范围是 .

正确答案

试题分析：由条件当时总有得：函数在上单调递增，而满足所以函数为偶函数，因此在上单调递减. 又因此

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题型：填空题

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填空题

已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的减函数，其图象经过A（-4，1）、B（0，-1）两点，则不等式|f（x-2）|＜1的解集是______

正确答案

不等式|f（x-2）|＜1，即-1＜f（x-2）＜1，

∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的减函数，其图象经过A（-4，1）、B（0，-1）两点，

∴-4＜x-2＜0，解得：-2＜x＜2，

∴|f（x-2）|＜1的解集是{x|-2＜x＜2}．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=ax+a-x（a＞0，a≠1），且f（1）=3．

（1）求f（）的值；

（2）求f（0）+f（1）+f（2）的值．

正确答案

（1）由f（1）=a1+a-1=3，

得[f（）]2=a2+a-2=（a1+a-1） 2-2=5，…（3分）

又f()=a12+a-12=+＞0，

所以f（）=…（6分）；

（2）f（0）=a0+a0=2…（8分）

f（1）=3

f（2）=a2+=（a+）2-2=9-2=7…（11分）

f（0）+f（1）+f（2）=2=2+3++7=12．…（12分）

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正确答案

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