- 集合与函数的概念
- 共44150题
函数f（x）=ax2-（5a-2）x-4在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是______．
正确答案
∵数f（x）=ax2-（5a-2）x-4在[2，+∝）上是增函数，∴a＞0或a=0，
又∵a＞0时，f（x）是二次函数，对称轴为x=
∴
综上，0≤a≤2，故答案为[0，2]．
已知函数f(x)=
（1）求f（f（3））的值；
（2）判断函数在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．
（3）当x取什么值时，f(x)=
正确答案
（1）由题意，f（3）=
（2）函数在（1，+∞）上单调递减…（3分）
证明：设x1，x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则△x=x1-x2＜0△y=f(x1)-f(x2)=1+
由x1，x2∈（1，+∞），得（x1-1）（x2-1）＞0，且x2-x1=△x＞0
于是△y＞0
所以，f(x)=
（3）f(x)=
探究函数f(x)=x+
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数f(x)=x+
（2）当x=______时，f(x)=x+
（3）试用定义证明f(x)=x+
（4）函数f(x)=x+
正确答案
（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…
故函数f(x)=x+
（2）由表格可知，x=2时，ymin=4 （4分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则
f（x1）-f（x2）=(x1+
=(x1-x2)+
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴
∴(x1-x2)(1-
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵f(x)=x+
已知函数f(x)=
正确答案
①当a＞0时，a3=-8，则a=-2（舍）
②当a≤0时，a+1=-8，则a=-9
所以a=-9．
故答案为：-9．
定义F（a，b）=
正确答案
由题意，当f（x）＞g（x）时，F（f（x），g（x））=x2，
当f（x）＜g（x）时，F（f（x），g（x））=-x+2，
又f（x）=g（x）时，x2+x-2=0的根为x1=-2，x2=1，则可知x=1时，有最小值为1，
故答案为1．
如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．定义在[1，e]上的函数f（x）=2x-1+lnx的下确界M=______．
正确答案
∵对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），
∴函数f（x）定义域内任意的x，[f（x）]min≥M
∵M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．
∴下确界是小于或等于函数f（x）在其定义域内的最小值的常数
对于f（x）=2x-1+lnx，求导数得：f'（x）=2+
∵
∴f'（x）≥2+
∴f（x）在区间[1，e]上是增函数，故[f（x）]min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴对任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函数的下界为小于或等于1的数，其中最大值为1，因此下确界M=1
故答案为：1
已知函数f（x）=loga（8-2x）（a＞0且a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（-x）的最大值．
正确答案
（1）∵函数f（x）=loga（8-2x），∴8-2x =af（x），x=
故反函数为 y=
（2）当a＞1时，由题意知，8-2x＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（-x）的定义域（-3，3），
函数y=f（x）+f（-x）=loga（8-2x）+
∴2x+2-x≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65-8（2x+2-x ）≤49，
当a＞1时，函数y=f（x）+f（-x）在x=0处取得最大值loga49．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为
f（x）的不动点．如果函数f（x）=
（1）求b、c满足的关系式；
（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{an}满足4Snf(
（3）在（2）的条件下，设bn=-
正确答案
（1）设 
∴
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=
由已知可得2Sn=an-an2①，且an≠1．
当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12②，
①-②得（an+an-1）（an-an-1+1）=0，∴an=-an-1或an=-an-1=-1，
当n=1时，2a1=a1-a12⇒a1=-1，
若an=-an-1，则a2=1与an≠1矛盾．∴an-an-1=-1，∴an=-n
∴要证待证不等式，只要证(1+
1
n
)-(n+1)＜
1
n
)-n，
即证(1+
1
n
)n＜e＜(1+
1
n
)n+1，
只要证nln（1+
考虑证不等式
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）-
∴g'（x）=
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，
令x=
1
an
)an+1＜
1
an
)an，
（3）由（2）知bn=
在
得
即T2012-1＜ln2012＜T2011．
设函数y=f（x）是奇函数．若f（-2）+f（-1）-3=f（1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=______．
正确答案
∵函数y=f（x）是奇函数
∴f（-2）=-f（2），f（-1）=-f（1）
∴f（-2）+f（-1）-3=f（1）+f（2）+3
可解得f（1）+f（2）=-3
故答案为：-3．
已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3
（1）当q=1时，求f（x）在[-1，1]上的最值．
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51？若存在，求出q（9）的值，若不存在，说明理由．
正确答案
（1）q=1时，函数f（x）=x2-16x+4在区间[-1，1]上递减，
∴fmax（x）=f（-1）=21fmin（x）=f（1）=-11
（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51
∵f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61，x∈[q，10]
∴当0＜q＜8时，f（x）min=q-61=-51，∴q=10∉（0，8）；
当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，f（x）min=q2-15q+3=-51，解得q=6（舍去）或q=9
故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51．
若
正确答案
令tanx=t，∵
∴y=tan2xtan3x=
故填：-8．
[2014·合肥模拟]f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是________．
正确答案
(8,9]
2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x＞0，x－8＞0，且x(x－8)≤9，解得8＜x≤9.
已知f（x）=
正确答案
∵当x≥1时，y=logax单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f（x）=（3a-1）x+4a单调递减，
∴a＜
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a-1）x+4a≥logax，得a≥
综上可知，
故答案为：
设函数
（1）用反证法证明：函数
（2）求证：函数
正确答案
(1)祥见解析；(2) 祥见解析．
试题分析：(1)反证法证明的一般步骤是：先假设结论不正确，从而肯定结论的反面一定成立，在此基础上结合题目已知条件，经过正确的推理论证得到一个矛盾，从而得到假设不成立，所以结论正确；此题只需假设假设函数
试题解析：(1)假设函数
则
这与
(2)因为
①充分性：当
所以函数
②必要性：当函数
有
综合①②知，原命题成立. 14分
（说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分）
已知函数
（1）画出该函数的图像；
（2）设
正确答案
（1）函数的图像详见解析；（2）当
试题分析：（1）先化简函数得
（1）因为
结合二次函数的图像可作出该函数的图像如下图：
（2）当
令
所以当
当
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