- 集合与函数的概念
- 共44150题
下列写法中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∅是没有任何元素的，{∅}是有一个元素是∅的，故A不正确；
∅是任何集合的子集，故B正确；
∅是没有任何元素的，而{0}是有一个元素0．故C不正确；
∅是没有任何元素的，0不是∅的元素，故D不正确；
故选B．
已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，…，集合Sk中所有元素的平均值记为bk．将所有bk组成数组T：b1，b2，b3，…，数组T中所有数的平均值记为m（T）．
（1）若S={1，2}，求m（T）；
（2）若S={a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥2），求m（T）．
正确答案
解：（1）S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，
∴数组T为：1，2，
∴m（T）=
（2）∵S={a1，a2，…，an}
∴m（T）=
又∵
∴m（T）=
=
解析
解：（1）S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，
∴数组T为：1，2，
∴m（T）=
（2）∵S={a1，a2，…，an}
∴m（T）=
又∵
∴m（T）=
=
若集合A={1，x2}，集合B={1，3，x}，且A∪B={1，3，x}，则x=______．
正确答案
解析
解：∵A∪B={1，3，x}=B
∴A⊆B
∴x2=3或x2=x
解得
当x=
当x=-
当x=1时，A={1，1}不满足集合的互异性，舍去
当x=0时，A={1，0}，B={1，3，0}
故答案为：
设集合A={x|tx+1=0}，若A⊆{1，2}，则实数t的取值范围是______．
正确答案
{0，-1，-
解析
解：由题意，A=∅，{1}，{2}，
A=∅，t=0；A={1}，t+1=0，t=-1；A={2}，2t+1=0，t=-
∴t=0，-1，-
故答案为：{0，-1，-
设集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是______．
正确答案
1≤m≤2
解析
解：∵集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，且B⊆A，
∴
故答案为：1≤m≤2
记U=R，若集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，则
（1）求A∩B，A∪B，∁UA；
（2）若集合C={x|x≥a}，A⊆C，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）因为集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，
所以A∩B={3≤x≤6}，
A∪B={x|2＜x＜8}，
∁UA={x|x＜3或x≥8}．
（2）因为集合C={x|x≥a}，A={x|3≤x＜8}，又A⊆C，
所以a≤3．
解析
解：（1）因为集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，
所以A∩B={3≤x≤6}，
A∪B={x|2＜x＜8}，
∁UA={x|x＜3或x≥8}．
（2）因为集合C={x|x≥a}，A={x|3≤x＜8}，又A⊆C，
所以a≤3．
不等式x+|2x-1|＜a的解集为φ，则实数a的取值集合是______．
正确答案
解析
画出x+|2x-1|的图象，如图，
由图可知：x+|2x-1|的最小值为0.5，
故a∈
故答案为：
已知f（x）=ax2+b，其中a，b，x均为实数，且A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（1）求证：A⊆B；
（2）当A≠B，并且A，B均不为空集时，求a2+b2的取值范围．
正确答案
解：（1）任意的x∈A，都有f（x）=x；
∴f（f（x））=f（x）=x；
即对任意的x∈A，x都满足f（f（x））=x；
∴x∈B；
∴A⊆B；
（2）由f（x）=x得，ax2-x+b=0 ①；
由f（f（x））=x得，a（ax2+b）2+b-x=0；
整理得，a3x4+2a2bx2-x+ab2=0，可因式分解为：（ax2-x+b）（a2x2+ax+ab+1）=0 ②；
1）若a=0，方程①变成-x+b=0，x=b，方程②变成-x+b=0，x=b；
∴A=B，与A≠B矛盾；
2）若a≠0，根据题意方程①②有解；
方程ax2-x+b=0的两根之和为
∴这两个方程有解时，解不完全相同；
∵A≠B；
∴方程a2x2+ax+ab+1=0有解；
∴a需满足
解得
∴可设a＜0，b＞0，则
∴
∴
∴a2+b2的取值范围为[
解析
解：（1）任意的x∈A，都有f（x）=x；
∴f（f（x））=f（x）=x；
即对任意的x∈A，x都满足f（f（x））=x；
∴x∈B；
∴A⊆B；
（2）由f（x）=x得，ax2-x+b=0 ①；
由f（f（x））=x得，a（ax2+b）2+b-x=0；
整理得，a3x4+2a2bx2-x+ab2=0，可因式分解为：（ax2-x+b）（a2x2+ax+ab+1）=0 ②；
1）若a=0，方程①变成-x+b=0，x=b，方程②变成-x+b=0，x=b；
∴A=B，与A≠B矛盾；
2）若a≠0，根据题意方程①②有解；
方程ax2-x+b=0的两根之和为
∴这两个方程有解时，解不完全相同；
∵A≠B；
∴方程a2x2+ax+ab+1=0有解；
∴a需满足
解得
∴可设a＜0，b＞0，则
∴
∴
∴a2+b2的取值范围为[
已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x2+y2≤1}，则（ ）
正确答案
解析
解：集合P表示中心在坐标原点，四个顶点在坐标轴上，且边长为
故选A
已知非空集合A⊆N，且满足条件“若x∈A则（12-x）∈A”，试写出满足条件且只含有2个元素的所有集合A．
正确答案
解：∵A⊆N，且若x∈A则（12-x）∈A；
∴只含有2个元素的集合A有
{0，12}，{1，11}，{2，10}，{3，9}，{4，8}，（5，7}．
解析
解：∵A⊆N，且若x∈A则（12-x）∈A；
∴只含有2个元素的集合A有
{0，12}，{1，11}，{2，10}，{3，9}，{4，8}，（5，7}．
设全集为R，集合A={x|1≤3x＜9}，B={x|log2x≥0}
（Ⅰ）求A∩B
（Ⅱ）若集合C={x|x+a＞0}，满足B∩C=B，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）A={x|1≤3x＜9}={x|0≤x＜2}；B={x|x≥1}．
∴A∩B={x|1≤x＜2}；
（Ⅱ）C={x|x＞-a}．
∵B∩C=B，
∴B⊆C，
∴-a＜1，
∴a＞-1．
解析
解：（Ⅰ）A={x|1≤3x＜9}={x|0≤x＜2}；B={x|x≥1}．
∴A∩B={x|1≤x＜2}；
（Ⅱ）C={x|x＞-a}．
∵B∩C=B，
∴B⊆C，
∴-a＜1，
∴a＞-1．
下列表示中，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵空集∅是指不含有任何元素的集合，
∴∅={0}，∅∈{0}，0∈∅都不正确；
∵∅是任何集合的子集，
∴∅⊆{0}．
故选C．
记关于x的不等式
（1）若a=3，求P．
（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）由
转化成（x-3）（x+1）＜0
解可得P={x|-1＜x＜3}．
（2）Q={x||x-1|≤3}={x|-2≤x≤4}．
当a＞-1时，得P={x|-1＜x＜a}，又P⊆Q，所以-1＜a≤4，
当a＜-1时，得P={x|a＜x＜-1}，又P⊆Q，所以-2≤a＜-1，
当a=-1时，得P=∅，满足P⊆Q，所以，a=-1符合题意．
综上，a的取值范围是[-2，4]．
解析
解：（1）由
转化成（x-3）（x+1）＜0
解可得P={x|-1＜x＜3}．
（2）Q={x||x-1|≤3}={x|-2≤x≤4}．
当a＞-1时，得P={x|-1＜x＜a}，又P⊆Q，所以-1＜a≤4，
当a＜-1时，得P={x|a＜x＜-1}，又P⊆Q，所以-2≤a＜-1，
当a=-1时，得P=∅，满足P⊆Q，所以，a=-1符合题意．
综上，a的取值范围是[-2，4]．
设集合I={1，2，3}，A⊆I，若把满足M∪A=I的集合M叫做集合A的配集，则A={1，2}的子集有（ ）个．
正确答案
解析
解：由定义可知，3∈M，
故集合M有22=4个，
故选D．
已知函数f（x）的定义域A=（m+1，2m），B=[0，4]且A⊆B，则m的取值范围为______．
正确答案
（1，2]
解析
解：由题意得，
解得，1＜m≤2．
故答案为：（1，2]．
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