热门试卷

（1）f（x）是奇函数，证明如下：

由题意可得，函数的定义域{x|x≠0}关于原点对称

∵f（-x）=-x-=-f（x）

∴f（x）是奇函数；

（2）证明；当a=2时，f（x）=x+，∴f′(x)=1-

当x＞2时，f′(x)=1-＞0恒成立

∴函数在（2，+∞）单调增；

（3）当a≤0时，f(x)=x+在x∈（1，2）单调递增

∴1+a＜f(x)＜2+

∴1+a≥3

∴a≥2（舍）

当a＞0时，f(x)=x+在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增

∴2＞3

∴a＞

∴a的范围是(，+∞)．

（1）a=-2时，f(x)=log2(x2-2x+5)，

∴f（3）=log2(32-2×3+5)=3，

f(x)=log2(x2-2x+5)=log2[(x-1)2+4]≥log24=2，

∴x=1时，函数f（x）的最小值为2；

（2）a=-6时，f(x)=log2(x2-6x+5)

∴f（x）＜5为log2(x2-6x+5)＜5

∴0＜x2-6x+5＜32

∴-3＜x＜1或5＜x＜9．

（1）函数的定义域为；（2）函数是奇函数；（3）函数的值域为．

试题分析：（1）具有解析式的函数的定义域无特殊情况下，通常就是使解析式有意义的自变量的取值范围；通常关注的是：①开偶次方时被开方的式子为非负；②作为分母不得为零；③作为对数的真数必须为正；④作为对数的底数必须为正且不为；（2）奇、偶性的判断，首先必须关注定义域，定义域关于原点对称是函数具备奇、偶性的必要条件，接下来用定义或等价定义来判断；（3）求函数值域的方法很多，在大题中经常通过探讨函数单调性来达到求函数值域的目的，这里即是．

试题解析：（1）由得，则函数的定义域为．       4分

（2）当时，，

因此，函数是奇函数．                                              9分

（3）设，当时，

则函数在区间上是减函数，

故函数在区间上也是减函数．                                12分

（证明单调性也可用定义）

则，                            13分

因此，函数的值域为．                                         14分

（1）∵f（2+x）=f（2-x）

∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．

∴f（2）=4a+2b+c=①且f（1）=a+b+c=②，-=2③，联立①②③解得：

a=-1，b=4，c=．

（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=．

∴log12(x2+x+)=log12[(x+

1

2

)2+]≤2，log12(2x2-x+)=log12[2(x-

1

4

)2+]≤1，

由原不等式得：log12(x2+x+)＜log12(2x2-x+)⇔⇔1-＜x＜1+，

故原不等式的解集是{x|1-＜x＜1+}．

证明：（Ⅰ）∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，x2-x1＞0，

∴f（x2-x1）＞2f（x1）-f（x2）

=f（x1）-f（x2-x1+x1）

=f（x1）-f（x2-x1）-f（x1）+2

=2-f（x2-x1）＜0，

所以f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在R上是单调递增函数…（4分）

（Ⅱ）∵f（1）=5，

∴f（2）=f（1）+f（1）-2=8，

由f（|t2-t|）≤8得f（|t2-t|）≤f（2）

∵f（x）在R上是单调递增函数，所以|t2-t|≤2⇒-2≤t2-t≤2⇔⇒⇒t∈[-1，2]…（8分）

（Ⅲ）由f（-2）=-4得-4=f（-2）=f（-1）+f（-1）-2⇒f（-1）=-1

所以f（-3）=f（-2）+f（-1）=-4-1-2=-7，

由f（t2+at-a）≥-7得f（t2+at-a）≥f（-3）

∵f（x）在R上是单调递增函数，

所以t2+at-a≥-3⇒t2+at-a+3≥0对任意t∈[-2，2]恒成立．

记g（t）=t2+at-a+3（-2≤t≤2）

只需gmin（t）≥0．对称轴t=-

（1）当-≤-2⇒a≥4时，gmin(t)=g(-2)=4-2a-a+3≥0⇒a≤与a≥4矛盾．

此时a∈ϕ

（2）当-2＜-＜2⇒-4＜a＜4时，gmin(t)=≥0⇒-6≤a≤2，

又-4＜a＜4，所以-4＜a≤2

（3）当-≥2⇒a≤-4时，gmin（t）=g（2）=4+2a-a+3≥0⇒a≥-7

又a≤-4

∴-7≤a≤-4

综合上述得：a∈[-7，2]…（14分）

∵函数y=f（x）在（-1，1）上是减函数，且f（1-a）＜f（2a-1），

∴即

∴0＜a＜

    由上知，实数a的取值范围是0＜a＜

（1）2；（2）函数在上是增函数；（3）

试题分析：（1）用赋值法可求得的值。，则，那么.用赋值法令中的，整理出的关系式，用表示出，因为有的范围所以可求出的范围。（2）由（1）知时，，，时，，所以在R上。在R上任取两个实数并可设，根据已知可用配凑法令在代入上式找出的关系。在比较的大小时，在本题中采用作商法与1比较大小。（3）由（２）知函数在上是增函数。当时，函数在上也是增函数，不合题意故舍。当时在上单调递减，此时只需的最大值小于等于k即可。

试题解析：（1）令,则,

即,解得或

若，令,则,

与已知条件矛盾.

所以

设，则，那么.

又

，从而．

（２）函数在上是增函数．

设，由（１）可知对任意

且

故，即

函数在上是增函数。

（３）由（２）知函数在上是增函数．

函数在上也是增函数，

若函数在上递减，

则时，，

即时，．

时，

(1),  (2) ,

试题分析：(1)解析式的求法，可得a与b的关系，再由函数的值域求出各自的值，最后得出解析式。

(2)由(1)已知的解析式，进一步表示出出的解析式，然后得出二次函数的对称轴，利用在闭区间上的单调性得出对称轴的范围，进而求出实数k的取值范围。

试题解析：(1)

又,的值域为,

(2)

对称轴，当或

即或时，是单调函数。

（Ⅰ）既不是奇函数,也不是偶函数；（Ⅱ）或；

（Ⅲ）当时,的取值范围是；当时,的取值范围是；当时,的取值范围是.

试题分析：（Ⅰ）对函数奇偶性的判断，一定要结合函数特征先作大致判断，然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明.当时,，从解析式可以看出它既不是奇函数,也不是偶函数.对既不是奇函数,也不是偶函数的函数，一般取两个特殊值说明.

（Ⅱ）当时,, 由得，这是一个含有绝对值符号的不等式，对这种不等式，一般先分情况去绝对值符号.这又是一个含有指数式的不等式，对这种不等式，一般将指数式看作一个整体，先求出指数式的值，然后再利用指数式求出的值.

（Ⅲ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，分离参数比较容易.分离参数时需要除以，故首先考虑的情况. 易得时,取任意实数,不等式恒成立.

,此时原不等式变为；即，这时应满足：，所以接下来就求的最大值和的最小值.在求这个最大值和最小值时，因数还有一个参数，所以又需要对进行讨论.

试题解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数  

∵,∴ 

所以既不是奇函数,也不是偶函数           3分

（Ⅱ）当时,, 由得  

即或  

解得 

所以或           8分

（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,

故只需考虑,此时原不等式变为；即

故

又函数在上单调递增,所以;

对于函数 

①当时,在上单调递减,,又,

所以,此时的取值范围是  

②当,在上,,

当时,,此时要使存在,

必须有    即,此时的取值范围是

综上,当时,的取值范围是;

当时,的取值范围是;

当时,的取值范围是           13分