- 集合与函数的概念
- 共44150题
下列关系中，正确的个数为______．
①
②
③|-3|∉N*；
④|-
正确答案
2
解析
解：∵①∵
②∵
③∵|-3|=3∈N*，故③|-3|∉N*错误；
④∵|-
综上所述，正确的选项为①②，
故答案为：2．
集合A={1，2}，B={1，2，3}，则下列关系正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由集合A={1，2}，B={1，2，3}，
得到A=B不正确，A∩B={1，2}得到A∩B=∅不正确，
A是B的子集，∴A⊆B正确．
故选：C．
设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：Ai⊕Aj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为（ ）
正确答案
解析
解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0
当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0
当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0
当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0
则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：2个．
故选B．
对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．
正确答案
解：（1）对于集合P7 ，有n=7．
当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，
当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=4时，Pn={
与k=1时Pn中的数重复，
当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
由此求得集合P7中元素的个数为 7×7-3=46．
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，
Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，
但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．
再证P14满足要求．当k=1时，P14={
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，
则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．
当k=4时，集合{
可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={
当k=9时，集合{
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={
最后，集合C═{
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．
综上可得，n的最大值为14．
解析
解：（1）对于集合P7 ，有n=7．
当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，
当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=4时，Pn={
与k=1时Pn中的数重复，
当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，
由此求得集合P7中元素的个数为 7×7-3=46．
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，
Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，
但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．
再证P14满足要求．当k=1时，P14={
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，
则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．
当k=4时，集合{
可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={
当k=9时，集合{
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={
最后，集合C═{
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．
综上可得，n的最大值为14．
设集合A={x|x2-3|x|+2=0}，B={x|（a-2）x=2}则满足B⊊A的a的值共有（ ）个．
正确答案
解析
解：因为集合A={x|x2-3|x|+2=0}，
所以x=±1，±2；A={1，2，-1，-2}．
B⊊A，所以B=∅，{1}，{2}，{-1}，{-2}．
所以a=2，a=3，a=4，a=1，a=0，
满足题意的a值有5个．
故选D．
已知集合M={x|mx+1-
正确答案
m＜
解析
解：由题意，方程mx+1-
令
m（t2+3）+1-t=0在[0，+∞）上无解．
即mt2-t+1+3m=0，
则若m=0，方程有解．
若m＜0，则1+3m＜0，则m＜
若m＞0，则△=1-4m（1+3m）＜0或
解得，m＞
故答案为：m＜
若集合A={x|x＜0或x＞1，x∈R}，B={x|x＞2，x∈R}，则（ ）
正确答案
解析
解：由集合的包含关系可知：B⊆A，
故选：A．
设P={x|（
正确答案
解析
解：P={x|（
Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，
故Q⊆P；
故选B．
已知集合A={-1，0，1}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是（ ）
正确答案
解析
解：∵A={-1，0，1}，B={1，m}．
∴m≠1，
若B⊆A，则m=0或m=-1．
故选：C．
已知A={x|x＞-3}，B={x|x＞m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是______．
正确答案
m≥-3
解析
解：由已知A={x|x＞-3}，B={x|x＞m}，如图
要使B⊆A，只要实数m的取值范围m≥-3．
故答案为：m≥-3．
已知集合M={x|-2＜x＜3}，则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：根据题意，依次分析选项可得：
对于A、2.5是集合M的元素，则2.5∈M，则A正确；
对于B、0是集合M的元素，应有0∈M，而不是0⊆M，B错误；
对于C、空集是任何集合的子集，应有∅⊂M，C错误；
对于D、集合M为无限集，D错误；
故选A．
已知集合A={x|x2-2x＞0}，B={x|-3＜x＜3}，则（ ）
正确答案
解析
解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|-3＜x＜3}；
∴A∩B={x|-3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；
∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；
即B正确．
故选：B．
已知集合A={（x，y）|x（x-1）+y（y-1）≤r}，集合B={（x，y）|x2+y2≤r2}，若A⊆B，则实数r可以取的一个值是（ ）
A
B
C
D1+
正确答案
解析
解：集合A={（x，y）|x（x-1）+y（y-1）≤r}
={（x，y）|（x-
集合B={（x，y）|x2+y2≤r2}，
A，B分别表示圆及其内部，
∵A⊆B，则两圆内切或内含，且圆心距为
将选项A、B、C、D代入r-
A成立．
故选：A．
已知P={x|x2+x-6=0，x∈R}，S={x|ax+1=0，x∈R}，若S⊆P，求实数a的取值集合．
正确答案
解：集合P={-3，2}，集合S中至多有一个元素，
若集合S为空集，即a=0时，显然满足条件S⊆P，故a=0．
若集合S非空集，即a≠0，此时S={-
故a的取值集合为{0，
解析
解：集合P={-3，2}，集合S中至多有一个元素，
若集合S为空集，即a=0时，显然满足条件S⊆P，故a=0．
若集合S非空集，即a≠0，此时S={-
故a的取值集合为{0，
集合P={x|y=
正确答案
解析
解：∵
∴P={x|x＜-1或x≥0}，
∵y=
即Q={y|y≥0}={x|x≥0}，
∴P⊋Q，
故选：B．
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