集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）已知函数f (x)＝．

(1)判断f (x)在区间(0，＋∞)的单调性，并用定义证明；

(2)写出函数f (x)＝的单调区间．

正确答案

解(1) f (x)在区间(0，＋∞)为单调减函数．证明如下：

略

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题型：简答题

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简答题

已知

（Ⅰ）当且有最小值为2时，求的值；

（Ⅱ）当时，有恒成立，求实数的取值范围

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）；

（1）=

又，

当，解得

当，

解得，舍去

所以

（2），即

，，，，

，依题意有

而函数

因为，，所以

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题型：填空题

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填空题

科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度r可定义为r=lgI+2．2008年5月12日，四川汶川发生的地震是8.0级，而1976年唐山地震的震级为7.8级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的______倍．（精确到个位）

正确答案

2008年5月12日，四川汶川发生的地震是8.0级，所以8=lgI+2，lgI=9，I=109

而1976年唐山地震的震级为7.8级，7.8=lgI+2，lgi=8.7，i=108.7；

所以==100.3≈2．

汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的2倍．

故答案为：2．

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题型：简答题

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简答题

设（为实常数）．

(1)当时，证明：不是奇函数；

(2)设是奇函数，求与的值；

（3）在满足（2）且当时，若对任意的，不等式

恒成立，求的取值范围．

正确答案

(1)见解析 (2) 或（3）

本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数的单调性的运用。

（1）举出反例即可．，，

，所以，不是奇函数

（2）当时得知，利用定义法证明单调性。然后得到．即对一切有：

，从而借助于判别式得到。

解:（1）举出反例即可．，，

，所以，不是奇函数；…………4分

（2）是奇函数时，，即对定义域内任意实数成立．…………5分

化简整理得，这是关于的恒等式，所以

所以或．经检验都符合题意．…………8分

（3）由当时得知，

设则

因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0

又>0 ∴>0即

∴在上为减函数。 ……………11分

因是奇函数，从而不等式：

等价于，

因为减函数，由上式推得：．即对一切有：

，

从而判别式 ……….14分

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；

(3)若t∈R，求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

正确答案

(1) c=2，b=－2 (2)见解析 (3) 见解析

（1）由已知中函数的值域是[1，3]，利用判别式法，我们可以构造出一个关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值；

（2）由（1）的结论我们易给出函数F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我们可以判断出F（x1）与F（x2）的大小，结合函数单调性的定义，我们易判断出函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性．

（3）根据函数的单调性得到不等式的证明，。

(1)解：设y=，则(y－2)x2－bx+y－c="0" ①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即b2－4(y－2)(y－c)≥0，

即4y2－4(2+c)y+8c-b2≤0 ②

由条件知，不等式②的解集是［1，3］

∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c-b2=0的两根

∴c=2，b=－2，b=2(舍）

(2)任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，则x2－x1＞0，且

(x2－x1)(1－x1x2)＞0，

∴f(x2)－f(x1)=－＞0，

∴f(x2)＞f(x1)，lgf(x2)＞lgf(x1)，即F(x2)＞F(x1)

∴F(x)为减函数.

即－≤u≤，根据F(x)的单调性知

F(－)≤F(u)≤F()，∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg对任意实数t成立.

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题型：填空题

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填空题

函数的最大值是_________________.

正确答案

5

略

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题型：填空题

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填空题

设，则函数的最小值为．

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=lg（x2-x-2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，则实数m最小值是______．

正确答案

由x2-x-2＞0解得x＜-1或x＞2，

所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（2，+∞），

y=x2-x-2=(x-)2-在（-∞，）上递减，在（，+∞）上递增，

又x＜-1或x＞2，

所以y=x2-x-2的减区间为（-∞，-1），增区间为（2，+∞），

而y=lgu递增，

所以f（x）的减区间为（-∞，-1），增区间为（2，+∞），

由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，

所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，

所以实数m的最小值为2，

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

不等式2x--a＞0的在[1，2]内有实数解，则实数a的取值范围是______．

正确答案

∵2x为增函数，-是增函数，

所以2x--a是增函数，

所以2x--a在[1，2]内的最大值为2 2--a=3-a＞0，即a＜3．

故答案为：a＜3．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=则f（f（1））=______．

正确答案

由题意f(x)=

f（f（1））=f（3）═-3

故答案为-3

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题型：填空题

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填空题

已知f（x）=x2008+ax2007--8，f（-1）=10，则f（1）=______．

正确答案

根据函数解析式得，f（1）+f（-1）=（1+a-b-8）+（1-a+b-8）=-14，

由f（-1）=10得，f（1）=-24．

故答案为：-24．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=，则f（-1）=______，f（a2+1）=______．（a≥0）

正确答案

∵-1＜1，∴应代入第一段解析式求解．得f（-1）=（-1+1）2=0．

∵a2+1≥1，．（a≥0），∴应代入第二段解析式求解，f（a2+1）=-=-a．

故答案为：0，-a．

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题型：填空题

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填空题

若f(+x)+f(-x)=2对任意的正实数x成立，则f()+f()+f()+…+f()=______．

正确答案

∵f(+x)+f(-x)=2对任意的正实数x成立

∴f(+)+f(-) =2，

f(+)+f(-) =2，

f(+)+f(-) =2

…

f()+f() =2

即f()+f() =2，

f()+f() =2，

…

f()=1

∴f()+f()+f()++…+f()=2009

故答案为2009

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题型：填空题

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填空题

已知f(x)=在R上为增函数，那么a的取值范围是______．

正确答案

依题意，有a＞1且3a-2＞0，

解得a＞1，

又当x＜1时，（3a-2）x-2a＜a-2，

当x＞1时，logax＞0，

因为f（x）在R上单调递增，所以a-2≤0，

解得a≤2

综上：1＜a≤2

故答案为：1＜a≤2．

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）的导函数f′（x）=x2-4x+3，则函数f（x+1）的单调减区间是 ______．

正确答案

∵f′（x）=x2-4x+3，

∴f（x）=x3-2x2+3x+c

∴f（x+1）=(x+1)3 -2(x+1)2+3(x+1)+c=x3-x2 +1+c

∴f′（x+1）=x2-2x

令f′（x+1）＜0得到0＜x＜2

故答案为（0，2）

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