集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知f(x)=，则f{f[f（-2）]}=______．

正确答案

∵f（x）=f(x)=，

∴f（-2）=-1，f（-1）=2，

∴f{f[f（-2）]}=f（2）=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

给出下列四个结论：

①已知△ABC中，三边a，b，c满足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则∠C等于120°．

②若等差数列an的前n项和为Sn，则三点(10，)，(100，)，(110，)共线．

③等差数列an中，若S10=30，S20=100，则S30=210．

④设f(x)=，则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值为．

其中，结论正确的是 ______．（将所有正确结论的序号都写上）

正确答案

①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）2-c2=3ab，化简得：a2+b2-c2=ab，

则cosC===，根据C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此选项错误；

②因为==a1+d，同理=a1+d，=a1+d，

则=====，

所以三点(10，)，(100，)，(110，)共线．此选项正确；

③根据等差数列的性质可知，S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，

得到：2（S20-S10）=S10+（S30-S20），将S10=30，S20=100，

代入得：2（100-30）=30+（S30-100），解得：S30=210．此选项正确；

④因为f（x）+f（1-x）=+

=+=+

===，

则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=×9=．此选项正确．

所以，正确的结论序号有：②③④．

故答案为：②③④

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题型：填空题

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填空题

函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_____________。

正确答案

试题分析：解：在上恒成立，则可知参数，可知答案为。

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

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题型：简答题

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简答题

设函数

(1) 设，，当时,求的单调区间和值域；

(2)设为偶数时，，，求的最小值和最大值.

正确答案

(1)单调减区间，单调增区间，值域；

(2) 最小值为，最大值为0

本试题主要是考查了二次函数的单调性和最值以及二次函数中参数的取值范围的求解的综合运用。

（1）根据已知的二次函数，那么结合开口方向和对称轴方程以及定义域得到单调性和值域问题。

（2）利用为偶数时，，得到b,c的不等式组，结合线性规划的思想解得。

解：（1），单调减区间，单调增区间，值域

（2）最小值为，最大值为0

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．

（1）若a＝2，求f(x)的单调区间和极值；

（2）求f(x)在[1，e]上的最小值．

正确答案

增区间；减区间；

(1)当a=2时，解析式确定，利用导数求其增区间和极值即可.

（2）求导然后研究极值与区间端点值进行比较再确定函数f(x)的最小值，注意对参数a进行讨论

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题型：简答题

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简答题

已知函数

⑴当时，求函数的单调区间；

⑵若在上是单调函数，求的取值范围.

正确答案

（1）函数f(x)的单调递减区间为；单调递增区间为

（2）

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

解：（1）当a=2时，

………2分

令( x)0，舍去负值）。 ……… 3分

函数f(x)及导数的变化情况如下表：

∴当a=2时，函数f(x)的单调递减区间为；

单调递增区间为 ……… 6分

（2）

，………7分

令

要使f(x)在[1,e]上为单调函数，只需对，都有或

……8分

② 时，恒成立即恒成立； ……… 10分

②当a<0时，，∴，∴恒成立；……12分

综上所述：当时，f(x)在[1,e]上为单调函数 ………13分

若直接用系数分离将时的

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题型：填空题

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填空题

函数的单调递增区间为_______________.

正确答案

试题分析：根据题意，由于函数，外层是底数为3的对数函数，单调递增，内层是一次函数，递增，那么则可知函数的增区间就是函数的定义域，因为,故可知函数的单调递增区间为。

点评：解决该试题的关键是对于复合函数单调性的判定：同增异减。

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题型：简答题

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简答题

已知函数，为的导数.

（1）当时，求的单调区间和极值；

（2）设，是否存在实数，对于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

正确答案

（1）在单调递减，在单调递增，极大=极小=

（2）存在符合要求

试题分析：（1）当时，，，

令得：、， ……2分

所以在单调递减，在单调递增， ……4分

所以极大=极小= ……6分

（2）在上是增函数，故对于，.

设.

，

由，得. ……8分

要使对于任意的，存在使得成立，只需在上，

-，

在上；在上，

所以时，有极小值 ……10分

又，

因为在上只有一个极小值，故的最小值为 ……12分

解得. ……14分

点评：导数是研究函数性质的主要依据，研究性质时一定不要忘记考虑函数的定义域.

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题型：填空题

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填空题

函数在上有最大值4，则实数 .

正确答案

或.

解：因为函数在上有最大值4，则实数需要对a>0和a<0分为两种情况来讨论得到结论，从而实数或.

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题型：简答题

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简答题

设函数

（1）试判断当的大小关系；

（2）求证：；

（3）设、是函数的图象上的两点，且，证明：

正确答案

（1）（2）见解析（3）证明见解析

(1)设F(x)=g(x)-f(x),(x>0),

然后求导，利用导数求出F(x)的最小值，说明最小值大于0即可.

(2)证明：由（1）知,

令则

然后再利用不等式的性质同向不等式具有可加性进行证明即可

（1）设则由

时，取得最小值为即…………5分

（2）证明：由（1）知

令则……7分

…………10分

（3）证明：，于是，，

以下证明等价于.令…………12分则，在上，

所以当即从而，得到证明.对于同理可证.

所以…………16分

另法：（3）证明：，于是，，

以下证明.只要证：，即证：

设：，…………12分，

上为减函数，，

，即.同理可证：所以

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题型：填空题

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填空题

已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是 ______

正确答案

（）

略

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题型：简答题

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简答题

温州某私营公司生产一种产品，根据历年的情况可知，生产该产品每天的固定成本为14000元，每生产一件该产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为

，每件产品的售价与产量之间的关系式为

．

（Ⅰ）写出该公司的日销售利润与产量之间的关系式；

（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润

正确答案

解：(Ⅰ)总成本为． -------------------------------------1分

所以日销售利润

． ……5分

(Ⅱ)①当时，．

令，解得或．

于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000； ---------------------------------------------8分

②当时，．

综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元． -----------------------------------------------------------------------------------------------10分

略

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题型：填空题

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填空题

函数的定义域是[0，2]，且，则的单调递减区间是__________．

正确答案

的单调递减区间为[1,2]．

因为0≤x≤2，所以1≤x＋1≤3，又因为f(x＋1)＝|x－1|＝|x＋1－2|，

所以f(x)＝|x－2|(1≤x≤3)．由图象可知的单调递减区间为[1,2]．

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数，满足（12分）

（1）求函数的解析式

（2）当时，求函数的最大值和最小值

正确答案

（1）依题意得解得

所以

(2)，则在上递减，在上递增，又 ,故函数在区间上的最小值为5,最大值为14

略

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题型：简答题

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简答题

（12分）设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

正确答案

由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)

又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，

∴f(x)在[－2,2]上为减函数．

∴，即，解得－1≤m<.

略

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