热门试卷

∵x＞0时，f（x）=x2+1，∴f（2）=5，

∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，

∴f（-2）=-f（2）=-5，

故答案为：-5．

∵f（）=|-1|-2=-，

∴f(f())=f（-）==．

故答案为：．

构造函数f（x）=x2001+x，则（3x+y）2001+（3x+y）+x2001+x=0

∴f（3x+y）+f（x）=0

∵f（-x）=-（x2001+x）=-f（x）且定义域为R关于原点对称

∴f（x）的奇函数

∴f（3x+y）=f（-x）

又易得f（x）=x2001+x为R上的单调递增函数

∴3x+y=-x

∴4x+y=0

故答案为0

∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，

∴-f （b）=f （-b）

∴不等式f （a）+f （b）＞0可化为f （a）＞-f （b）=f （-b）

又∵函数f （x）是减函数

∴a＜-b

即a+b＜0

故答案为：＜

由已知函数f（x）=x2+px+q和g（x）=x+在区间[1，]上都有最小值f（x0），g（x0），

又因为g（x）=x+ 在区间[1，]上的最小值为g（2）=4，

f（x）min=f（2）=g（2）=4，

所以得：，

即：

所以得：f（x）=x2-4x+8≤f（1）=5．

解；f（a-3）+f（9-a2）＜0可以变形为f（a-3）＜-f（9-a2）

∵y=f（x）是的奇函数，f（a-3）＜f（a2-9）

又∵y=f（x）是定义域为（-1，1）的减函数，

∴

∴，

∴2＜a＜3

∴实数a的取值范围是(2，3)

故答案为(2，3)

由函数f（x）=alog2x+blog3x+2，

得f（）=alog2+blog3+2=-alog2x-blog3x+2=4-（alog2x+blog3x+2），

因此f（x）+f（）=4

再令x=2012得f（2012）+f（）=4

所以f（2012）=4-f()=4-5=-1，

故答案为：-1．

当a＜0，则

f（a）=2a∈（0，1）

则f（f（a））=

则f（f（f（a）））=log13=-

故答案：-

由题意知，对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），

故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），

则此函数的值构成了一个等差数列，首项f（1）=2，公差为=2，

∴f（2009）=2+2008×2=4018．

故答案为：4018．

因为：f（x）=x+sinx

所以；f（-x）=-x+sin（-x）=-（x+sinx）=-f（x）；

∴f（x）是奇函数

又因为：f′（x）=1+cosx，在x∈[-1，1]时f′（x）＞0；

∴f（x）在x∈[-1，1]上递增，．

∴f(a+)+f(2a)＞0⇒f（a+）＞-f（2a）=f（-2a），

∴⇒-＜a＜．

故答案为：（-，）．

证明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}

f（2）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，

f（3）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，

f（4）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，

…，

f（2011）≤max{f（1），f（2010）}=1，即f（2011）≤1．

因为 f（2011）≠1，所以f（2011）＜1，

从而 f（2012）≤max{f（1），f（2011）}=1，即f（2012）≤1．

假设 f（2012）＜1，

因为 f（x）为偶函数，所以f（-2011）=f（2011）．

于是 f（1）=f≤max{f（2012，f（-2011）}=max{f（2012），f（2011）}＜1，

即 f（1）＜1．这与f（1）=1矛盾．

所以f（2012）＜1不成立，从而只有f（2012）=1．

故答案为：1．

∵f(x)=

∵1+log23＞0，

∴f（1+log23）=f[（1+log23）-1）]=f（log23）

∵log23＞0

f（log23）=f（log23-1），∵log23-1＞0

∴f（log23-1）=f（log23-2），

∵log23-2≤0，

∴f（log23-2）=(

1

2

)log32-2-1=×23=，

故答案为．

令sinα+cosα=t，平方后化简可得 sin2α=t2-1，再由-1≤sin2α≤1，可得-≤t≤． 

再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t2-1，

∴f()=-1=-，

故答案为 -．

∵f(x)=

∵1+log23＞0，

∴f（1+log23）=f[（1+log23）-1）]=f（log23）

∵log23＞0

f（log23）=f（log23-1），∵log23-1＞0

∴f（log23-1）=f（log23-2），

∵log23-2≤0，

∴f（log23-2）=(

1

2

)log32-2-1=×23=，

故答案为．