集合与函数的概念_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数（）最小正周期是，求函数

的单调递增区间.

正确答案

=，周期，所以

所以=

从而当（）时，单调递增

即（）时，单调递增

所以单调增区间是

1

题型：简答题

|

简答题

(本小题满分14分)

已知函数．

(Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(Ⅱ) 设，，且，求证：．

正确答案

（1）（2）略

(Ⅰ)

．………………………………………3分

因为在上为单调增函数，

所以在上恒成立．

即在上恒成立．

当时，由，

得．

设，．

．

所以当且仅当，即时，有最小值．

所以．

所以的取值范围是．…………………………………………………………7分

(Ⅱ)不妨设，则．

要证，

只需证，

即证．

只需证．……………………………………………………………11分

设．

由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又，

所以．

即成立．

所以．………………………………………………………………14分

1

题型：简答题

|

简答题

函数的最小值为

（1）求（2）若，求及此时的最大值

正确答案

（1）；（2）＝－1；

(1)函数的最小值为

，

，，＝

(2)

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f(x)=（ax-a-x） (a＞0，且a≠1).

(1)判断f(x)的单调性；

（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)＜0的实数m的范围.

正确答案

（1）f(x)在R上为增函数（2）1＜m＜

（1）设x1＜x2,x1-x2＜0,1+＞0.

若a＞1,则, ＞0,

所以f(x1)-f(x2)=＜0，

即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数；

同理，若0＜a＜1，则,＜0,

f(x1)-f(x2)=(1+)＜0,

即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数.

综上，f(x)在R上为增函数.

（2）f(x)=则f(-x)=,

显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m2)＜0,

即f(1-m)＜-f(1-m2)f(1-m)＜f(m2-1),

函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m2-1＜1,可得1＜m＜.

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数是定义在上的奇函数，当时，；

（1）当时，求的表达式；

（2）在（1）的条件下，求函数的最大值.

正确答案

第一问：,最大值为2

第二问：

略

1

题型：填空题

|

填空题

函数的单调增区间为．

正确答案

试题分析：首先求解函数的定义域，保证即可知，那么由于外层是指数函数，底数大于1，因此是递增函数，那么所求函数的增区间即为内层二次函数的增区间，那么可知其对称轴x=2，那么增区间为.

点评：解决的关键是利用复合函数单调性来求解单调区间，属于基础题。

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是 .

正确答案

试题分析：根据题意，由于函数在区间内恒有，即可知,因此可知外层的对数函数得到递增，那么内层是二次函数，定义域为,因此可知内层的减区间即为所求，开口向上，对称轴x=1，可知就是减区间，故答案为

点评：解决的关键是对于对数函数的值域的理解和运用，以及复合函数单调性的判定，属于基础题。

1

题型：填空题

|

填空题

函数的单调递减区间是 __________________.

正确答案

因为函数，那么利用二次函数的性质可知，对称轴为x=1，那么函数的单调递减区间是，故答案为。

1

题型：填空题

|

填空题

已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为 .

正确答案

略

1

题型：填空题

|

填空题

如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，当时，都有且存在两个不相等的自变量，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．

正确答案

9

试题分析：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种；综上，这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种.

1

题型：填空题

|

填空题

函数的所有零点之和为．

正确答案

4

试题分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．函数的所有零点之和，解：画出图象：

① x=时，f（）=2-2=0，∴是函数f（x）的一个零点．②∵x=时，f（）=-2+2=0，∴是函

数f（x）的一个零点．由于两个函数y=，y=sinπx的图象都关于点（1，0）中心对称，则此两个函数的另外两个交点的横坐标x1+x2=2．∴函数f(x)=-2sinπx(-1≤x≤3)的所有零点之和为4．故答案为4.

点评：主要是考查了函数零点的求解运用，属于基础题。

1

题型：简答题

|

简答题

已知

（1）求当时，函数的表达式；

（2）作出函数的图象，并指出其单调区间。

正确答案

（1）（2）单调减区间为：；单调增区间为：

试题分析：解：（1）设则

又因为为偶函数，

所以（1）可以化为：

即：当时，函数的表达式是

（2）单调减区间为：

单调增区间为：

点评：求函数的单调区间，关键是看一个函数在一个区间内是增函数还是减函数，若函数在这个区间内是增函数，则这个区间是增区间；若函数在这个区间内是减函数，则这个区间是减区间；

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数f(x)=|lgx|．若0<af(a)=f(b),则a+2b的取值范围是

正确答案

试题分析：解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或b=

，所以a+2b=a+，又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令f(a)=a+，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+2=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．

故填写

点评：在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=a+ ＞2 ，从而错选A，这也是命题者的用苦良心之处．

1

题型：简答题

|

简答题

定义在上的函数，，当时，，且对任意的

，有，

(1)求的值；

（2）求证：对任意的，恒有；

（3）判断的单调性，并证明你的结论。

正确答案

(1) (2) 见解析（3）在上为增函数

本试题主要是考察了函数的奇偶性和函数的单调性的证明，以及函数值符号的判定的综合运用。

（1）利用赋值思想得到结论f(0)=1

(2)由于当时，，，当时，

当时，利用互为倒数可知，结论成立。

（3）利用单调性的定义，作差，然后判定与零的大小关系得到。注意结合题中的关系式的变换得到。

解： (1) ………………2分

(2) 当时，，，当时，

当时， ∵ ∴

所以对任意的恒有 ………………6分

（3）设，则

由题知，∴

在上为增函数

1

题型：填空题

|

填空题

奇函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为______________．

正确答案

奇函数满足：，所以f(3)=0且f(0)=0;f(x)在

区间与上分别递减和递增，则在区间[-2,0]与(-∞,-2]分别递减和递增；

;

故解集是

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案