集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设函数，求函数的最小值。

正确答案

，∴ 函数图象开口向上，对称轴是x＝m。

略

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题型：简答题

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简答题

（14分）已知函数.

（1）求这个函数的图象在点处的切线方程；

（2）讨论这个函数的单调区间.

正确答案

（1）

（2）

解：. （3分）

（1）当时，

，. （5分）

所以，切线过点，斜率为1，（7分）

故切线的方程为. （8分）

（2）令，即，解得.

所以，函数的单调递增区间为. （11分）

令，即，解得.

所以，函数的单调递减区间为. （14分）

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题型：填空题

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填空题

函数的值域是

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

奇函数满足： ①在内单调递增；②，则不等式的解集为：；

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

正确答案

(0,1]

∵函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，∴a≤1.

又∵函数g(x)＝在区间[1,2]上也是减函数，

∴a>0.∴a的取值范围是(0,1]．

1

题型：填空题

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填空题

若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．

正确答案

(0,1)∪(2,3)

对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.

1

题型：填空题

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填空题

已知函数是偶函数，在（－∞，0]上是减函数，则满足的x的取值范围是

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

函数在上是减函数，在上是增函数；函数在上是减函数，在上是增函数；函数在上是减函数，在上是增函数；……利用上述所提供的信息解决问题：若函数的值域是，则实数的值是

正确答案

2

本题考查函数的单调性

函数在上是减函数，在上是增函数，单调性在两侧相反，在处取最小值；

由此猜想：函数的单调性在两侧相反，在上是减函数，在上是增函数，在处取最小值；；

由函数的值域是，即最小值为，则当时取最小值，所以

，所以，解得

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题型：填空题

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填空题

如果在上的最大值是2，那么在上的最小值是。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于________．

正确答案

6

由已知得当－2≤x≤1时，

f(x)＝x－2，

当13－2.

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

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题型：填空题

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填空题

已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为为

正确答案

在上单调递增，需满足即.

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题型：填空题

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填空题

若函数在处有极大值，则常数的值为_________；

正确答案

6

解：因为函数在处有极大值，

经验证符合题意。

则常数的值为6

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题型：简答题

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简答题

已知函数，，．

(1)若，试判断并证明函数的单调性；

(2)当时，求函数的最大值的表达式．

正确答案

(1)判断：若，函数在上是增函数. 用单调性的定义证明即可， (2)

试题分析：(1)判断：若，函数在上是增函数. …………2分

证明：当时，，在区间上任意，设，

所以，即在上是增函数. …… 7分

(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给7分)

(2)因为，所以…… 9分

①当时，在上是增函数，在上也是增函数，

所以当时，取得最大值为； …… 10分

②当时，在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

而，

当时，，当时，函数取最大值为；

综上得， ……14分

点评：利用函数的单调性是解决函数最值及值域的最基本的方法，另外函数单调性的定义是证明单调性的最基本的方法，要掌握其步骤

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题型：简答题

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简答题

已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

正确答案

（Ⅰ）当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）因为

所以

令

（1）当

所以，当，函数单调递减；

当时，，此时单调递

（2）当

即，解得

①当时，恒成立，

此时，函数在（0，+∞）上单调递减；

②当

时，单调递减；

时，单调递增；

，此时，函数单调递减；

③当时，由于

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增。

综上所述：

当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，

，当，

函数单调递减；当时，

函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为

由于“对任意，存在，使”等价于

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）

又，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾；

②当时，因为，同样与（*）矛盾；

③当时，因为

解不等式，可得

综上，的取值范围是

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。

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题型：填空题

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填空题

给出下列命题：

①函数为非零常数）的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到；

②函数在R上既是奇函数又是增函数.

③不等式

④函数至多有一个交点.

⑤若定义在R上的函数满足,则函数是周期函数.

⑥在定义域内恒成立函数在定义域内单调递增的充分不必要条件.

其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）

正确答案

②④⑤⑥

略

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