热门试卷

（1）＝sin2x＋acosx ，；

（2）当cosx="-1" ,h(x)min=－a,当cosx=, h(x)max=。

试题分析：（1）+ ①

   ②   3分

联立①②得＝sin2x＋acosx   5分         7分

（2）＝1－cos2x＋acosx＝－(cosx－)2＋＋1   9分

若a>1,则对称轴>1,且x时，cosx[-1,]  11分

当cosx="-1" ,h(x)min=－a,当cosx=, h(x)max=   14分

点评：中档题，根据+求奇函数与偶函数，方法是列方程组。（2）利用换元思想，将问题转化成求二次函数在闭区间的最值问题。

(1) f（x）=f（e）=e－e－1.

(2) 满足条件的a的取值范围是（－，1）

试题分析：

当x∈[1，e]时，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0，

所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）=f（e）=e－e－1.             4分

（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>.      *

（i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，

所以a∈R；                                                      5分

（ii）当x=1时，|1－a|≥0，=0，所以a1；                      6分

（iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于a恒成立或a>x+恒成立.

令h（x）=x－，则h′（x）=.

因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1.

因为a恒成立等价于a<（h(x)），所以a≤1.

令g（x）=x+，则g′（x）=.再令e（x）=x+1－lnx，则e′（x）=2x－>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上无最大值.               11分

综上所述，满足条件的a的取值范围是（－，1）.                  12分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，运用导数判定函数单调性以及函数的最值，属于基础题。

(1)利用导数的符号判定函数单调性，以及桉树的极值，进而证明。

(2) 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.

试题分析：解：（I）因为函数有三个极值点,

所以有三个互异的实根.  

设则

当时， 在上为增函数;

当时， 在上为减函数;

当时， 在上为增函数;

所以函数在时取极大值,在时取极小值.  （3分）

当或时,最多只有两个不同实根.

因为有三个不同实根, 所以且.

即,且,

解得且故.                 （5分）

（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.

不妨设为（），则

所以的单调递减区间是,

若在区间上单调递减，

则, 或,

若,则.由（I）知，,于是

若,则且.由（I）知，

又当时，;

因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.             （10分）

点评：解决的关键是利用导数的符号判定函数的单调性，以及函数的极值，属于基础题。

,

试题分析：解：（1）∵

∴       —————————————2’

令，∵，∴。

令（）—————————————4’

当时，是减函数；当时，是增函数。

∴———————————————8’

（2）∵恒成立，即恒成立。∴恒成立。

由（1）知，∴。

故的取值范围为    ————————————————12’

点评：解决该试题的关键是对于变量的整体代换求解函数的最值，同时能结合不等式恒成立分离参数来求解参数的范围属于基础题。

（1）；

（2）＝；

（3）。

试题分析：（1）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，从而可求出b的值。

(2)由(1)知,得＝这是求解此步的关键，然后再利用对数的运算法则求值即可。

(3) 对于区间[3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立转化为当恒成立,然后再构造函数:研究出h(x)是增函数，从而可求出h(x)的最小值，问题得解。

（1）∵ 为奇函数

∴，即     …２分

故，解得                     ………………………４分

显然不成立，舍去。所以  ………………………………………５分

（2）由（1）知

∴＝……6分

＝………………………９分

（3）依题意 对于区间[3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立

则 当恒成立…………………１0分

又         …………………１1分

∵在[3,4]上单调递增，单调递减

所以在[3,4]上单调递增    …………………………………………１2分

∴ 只需即可

又    所以    ……………………………………………１４分

点评：根据函数的奇偶性确定式子中的参数值是常见题型。不等式恒成立的问题一般要考虑分离参数，然后转化为函数最值来研究。

当时，只有单调递增区间;当时，单调递增区间为，,单调递减区间为.;详见解析.

试题分析：先求出的导数，讨论，利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间；当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立转化为>0恒成立.结合第问讨论的单调区间得出的范围；结合第问，令，，所以，再利用柯西不等式，，其中由条件.最后得证.

试题解析：（Ⅰ）易知,定义域是.

                                1分

由的判别式

①当即时，恒成立，则在单调递增    2分

②当时，在恒成立，则在单调递增      3分

③当时，方程的两正根为

则在单调递增，单调递减，单调递增

综上，当时，只有单调递增区间

当时，单调递增区间为，

单调递减区间为   5分

（Ⅱ）即时，恒成立

当时，在单调递增 ∴当时，满足条件  7分

当时，在单调递减

则在单调递减

此时不满足条件

故实数的取值范围为                                         9分

（Ⅲ）由（2）知，在恒成立

令 则         10分

∴                   11分

又

其中

∴                          13分

∴                                            14分

(1)  (2) 单调增区间为 (3)

试题分析：⑴因为函数，

所以，，

又因为，所以函数在点处的切线方程为．

⑵由⑴，．

因为当时，总有在上是增函数，

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为．

⑶因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可．

又因为，，的变化情况如下表所示：

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在上是增函数．

而，故当时，，即；

当时，，即．

所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为．

点评：第一问主要利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率；第二问求单调增区间主要是通过导数大于零；第三问的不等式恒成立转化为求函数最值，这是函数题经常用到的转化方法，本题第三问有一定的难度

f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．利用定义证明

试题分析：f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．证明如下： 2分

取任意的x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，则 3分

f（x1）－f（x2）＝－＝＝．    5分

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0．   6分

又∵x1，x2∈（1，＋∞），∴x2＋x1＞0，－1＞0，－1＞0，  8分

∴（－1）（－1）＞0．（x2＋x1）（x2－x1）＞0  10分

∴f（x1）－f（x2）＞0．  11分

根据定义知：f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数． 12分

点评：熟练掌握定义法证明函数的单调性的步骤是解决此类问题的关键，属基础题

(Ⅰ)∵ a＞0，，

∴

=，              …… 2分

于是，，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为，即（a－2）x－ay + 1 = 0．               ……… 4分

(Ⅱ)∵ a＞0，eax＞0，∴ 只需讨论的符号．  ………… 5分

ⅰ）当a＞2时，＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．…6分

ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得，．

当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f(x)在，,为增函数,f(x)在为减函数．   …… 9分

(Ⅲ)当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在上是减函数，在上是增函数，故当x∈（0，1）时，，……10分

∴当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．……11分

当a∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，……13分  符合条件的实数a不存在．

略