热门试卷

(1)  

(2) 时，在区间上，，为增函数，所以 

当时,

(3)

试题分析：解：（Ⅰ）当时，┈┈1分

故切线的斜率为，                             ┈┈┈┈ 2分

所以切线方程为：，即. ┈┈┈┈ 3分

（Ⅱ），

令，得          4分

① 时，在区间上，，为增函数，

所以  5分

②当时，在区间上，为减函数，  6分

在区间上，为增函数，  7分

所以                  8分

(Ⅲ) 由可得

，                  9分

令，

        10分

12分

，，

              ┈┈┈┈ 13分

实数的取值范围为          ┈┈┈┈ 14分

点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性关系的运用，以及结合极值的概念得到最值，属于中档题

；证明见解析。

本试题主要是考查了幂函数的解析式的求解，以及函数单调性的证明。

先设出，得到函数的解析式，然后定义域内任意设出两个变量，求解函数值，作差，变形定号，得到证明。

解：由，所以……………3分

证明：任取、，且……………5分

则……………8分

， 又、 

 即 ……………11分

在上为增函数。……………12分

(1) =）、f(

（1），由根与系数的关系得，

同法得f(

(2).证明：f/(x)=而当x时，

=2(x-故当x时, f/(x)≥0,

   函数f(x)在[上是增函数.

（3）.证明：

, 同理.

又f(两式相加得:

即

而由（1），f( 且f(,

   .

(1)利用函数的单调性，alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。

(2)证明：数学归纳法

试题分析：(1)证明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，

alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)="f(a)"

那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，

f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；

f(a)≥f()="(1-b)" log3+ blog3b，记g(b)=" (1-b)" log3+ blog3b， 3分

得：g′(b)= log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，

 g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增； g(b)≥g()=-1。

alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。5分

(2)证明：n=1时，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知

++≥-1成立，即n=1时，结论成立。

设n=k时结论成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k)时

+++…+≥-k.

那么，n=k+1时,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，

令+…+=t，则++…+=1，由归纳假设：

++…+≥-k. 8分

 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t).

+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1)

设+…+=s，则+…+=t-s，++…+=1，

由归纳假设：++…+≥-k.

++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)

………(2) 10分

+…+=s，++…+=1；由归纳假设同理可得：

++…+ ≥-ks+ ss ……(3) 

将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：

++…++…++…+

≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss 

而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。

-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。

++…++…+≥-(k+1)。

n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。 13分

点评：难题，利用已知a，b，c的关系，首先确定得到函数f(a)，从而利用导数研究函数的单调性，达到证明不等式的目的。（2）利用数学归纳法证明不等式，看似思路清晰，但在不等式变形过程中，困难重重。是一道比较难的题目。

(1) x＝log3(1＋) ；

(2) f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增 ；

(3) [－4，＋∞).

试题分析：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．

当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2，

∴(3x)2－2·3x－1＝0，∴3x＝1±.

∵3x>0，∴3x＝1－ (舍)．∴3x＝1＋.∴x＝log3(1＋)             4分

(2)当x>0，f(x)＝3x－.∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，

y＝在(0，＋∞)上单调递减．

∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增        8分

(3)∵t∈[，1]，∴f(t)＝3t－>0，

∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为3t(32t－)＋m(3t－)≥0.

即3t(3t＋)＋m≥0.即m≥－32t－1.

令g(t)＝－32t－1，则g(t)在[，1]上递减，

∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)         13分

点评：中档题，解简单的指数方程，一般是考虑化同底数指数幂相等或利用“换元法”，转化成一元二次方程求解。不等式恒成立问题，一般是利用“分离参数法”，转化成求函数最值问题。