热门试卷

解；（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0

从而f（x）=

又∵即

∴f（2）=0，解之，得c=-4

再由f（1）＜f（3），得或，从而a＞0

此时在[2，4]上是增函数

注意到f（2）=0，则必有f（4）=

∴

即a=2

综上可知，a=2，b=0，c=-4。

（2）由（1），得

该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数

又∵-3≤-2+sinθ≤-1，

∴f（-2+sinθ）的值域为

符合题设的实数m应满足＞

即m2＜0

故符合题设的实数m不存在。

解：（1）a=2，b=1；

（2）。

解：（Ⅰ）a=2，b=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

任取，

则，

所以，为R上的减函数。

（Ⅲ）由f(x)在（-∞，+∞）上为减函数，又因f(x)是奇函数，

从而不等式：等价于，

因f(x)为减函数，由上式推得：，

即对一切t∈R有：，

从而判别式

解：f（x）在[﹣4，4]上是单调递减函数．

证明如下：函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，

即f（﹣x）=﹣f（x）对于任意x的成立，

则有a（﹣x）3+（a﹣1）（﹣x）2+48（a﹣2）（﹣x）x+b

=﹣[ax3+（a﹣1）x2+48（a﹣2）x+b]

必有a﹣1=0，b=0，即a=1，b=0，

于是f（x）=x3﹣48x．

∴ ，

∴当 ，

所以f（x）在[﹣4，4]上是单调递减函数．

解：（1）依题意得 即 解得 

∴ 

（2）∵f（x）在（﹣1，1）是奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t）

∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数

∴ ，

解得 

∴不等式的解集为 

证明：（1）由题意，函数f（x）的定义域为R，

对任意x∈R都有f（﹣x）==﹣=﹣f（x），

故f（x）在R上为奇函数；

（2）任取﹣1≤x1＜x2≤1则f（x1）﹣f（x2）=

∵﹣1≤x1＜x2≤1，

∴x1﹣x2＜0，x1x2＜1，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2）．

故f（x）在[﹣1，1]上为增函数；

（3）由（1）（2）可知：

①当a＞0时，f（x）在[﹣1，1]上为增函数，

故f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=，最小值为f（﹣1）=﹣，

②当a＜0时，f（x）在[﹣1，1]上为减函数，

故f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=﹣，最小值为f（1）=，

解：（1）由f（4）=3得：n=1

∴，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+?）

又

∴函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数．

（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，

证明如下：任取x1，x2，且0＜x1＜x2，

则x1﹣x2＜0，x1x2＞0

那么=

即f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（3）由f（x）＞2x+2m+1，

得

∴2m+1

∴当x∈[1，3]，的最小值是﹣5，

∴2m+1＜﹣5，得m＜﹣3，

所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．

解：（1），

又，

∴-1＜y＜1，

即函数f(x)的值域为(-1，1)。

（2）函数f(x)在R上为单调增函数。

证明：，

在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，

则，

，

∴，从而，

∴函数f(x)在R上为单调增函数。

（3），

∴函数f(x)为奇函数。

（4）由（3）知，函数f(x)为奇函数，

∴，即，

∴，

即，解得：m＜-2或m＞1，

∴原不等式的解集为。

解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，

即

又由f（1）=﹣f（﹣1）知．

所以a=2，b=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．

又因为f（x）是奇函数，

所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0

等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

因为f（x）为减函数，

由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，

从而判别式．

所以k的取值范围是k＜﹣．

解：（1）∵是R上的偶函数

∴f（x）-f（-x）=0

∴

∴

∴

∵不可能恒为“0”

∴当时等式恒成立，

∴a=1。

（2）在（0，+∞）上任取

∵e>1

∴

∴，

∴

∴f（x）是在[0，+∞）上的增函数。

解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，

∴f（﹣x）= = 

又 f（x）是偶函数

∴f（x）=f（﹣x）=             

（2）依题意，f（x）是偶函数，

当x＞0时，f（x）= 是减函数，且f（1）=1

由 f（2x﹣3）＞1可得  f（2x﹣3）＞f（1）

所以|2x﹣3|＜1，解得  1＜x＜2

不等式 的解集为 （1，2）

解：（1）∵f（x）的定义域为R，设 x1＜x2，则=，

∵x1＜x2，

∴，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以不论a为何实数f（x）总为增函数．

（2）∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），即，

解得：a=1．

∴

∵2x+1＞1，

∴，

∴

所以f（x）的值域为（﹣1，1）．

解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）

又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1）

再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0，

于是有f（-x）=f（x）

∴f（x）是偶函数；

 （2）设012，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-

由于012∴

从而

故f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）2）

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）由于f（2）=1，

所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），

于是待解不等式可化为f（2x2-1）

结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|<4

解得。

解：由题意知：（1）f（x）是奇函数．

证明：∵对x∈R有

∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数

（2）任取x1，x2∈R，设x1＜x2则=

                                 =

∵x1＜x2且f（x）=2x为增函数，

∴

又∵

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

故，函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是增函数．