热门试卷

（Ⅰ）假设存在实数a函数f(x)=a-是奇函数，因为f（x）的定义域为R，

所以f（0）=a-1=0，所以a=1

此时f(x)=1-=，则f(-x)===-f(x)，

所以f（x）为奇函数

即存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-，因为2x+1在R上递增，所以在R上递减，所以f(x)=1-在R上递增．

∵2x+1＞1，

∴0＜＜2，

∴-1＜1-＜1，

即函数f（x）的值域为（-1，1）

（I）证明：由题设易得g（x）=e2x-t（ex-1）+x，g'（x）=2e2x-tex+1．又2ex+e-x≥2，且t＜2

得t＜2ex+e-x，

tex＜2e2x+1，即g'（x）=2e2x-tex+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．

（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+e-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2ex+e-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．

（III）设F（t）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，即F(t)=2(t-)2+(ex-x)2+1

易F(t)≥(ex-x)2+1，令H（x）=ex-x，则H'（x）=ex-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以(ex-x)2+1≥

于是对任意的x，t，都有F(t)≥，即f(x)≥

（1）解：∵函数是奇函数，

∴，

∴，

又a≠0，

∴-x+b=-x-b，∴b=0，

又函数f(x)的图像经过点（1，3），

∴即，∴a=2。

（2）证明：由（1）知，，

设任意且，

则，

，

∴，

∴，

∴，即，

∴函数g(x)=xf(x)在区间（1，+∞）上是增函数。

（1）证明：令x=y=0，则有，

，

∴f(0)=1，

令x=0，∴，∴，

∴f(x)是偶函数。

（2）解：令，则，

∵f(x)在(-∞，0)上是增函数，

∴,

又∵f(x)是偶函数，

∴，

∴，

∴f(x)在(0，+∞)上是减函数。

（1）解：由，解得：，

∴f(x)的定义域为（-1，1），关于原点对称，

又，

∴f(x)是奇函数。

（2）解：在定义域上，f(x)是减函数；

证明：设，

则

，

∵，

∴，，，

∴>0 ，>0，

∴， 即，

∴在(-1，1)上，f(x)是减函数。

（1）解：依题意，对一切x∈R，有f(x)=f(-x)，即，

故对于一切x∈R都成立，

由此可得，，即，

又因为a＞0，所以a=1。

（2）证明：设，

，

由，得，

所以，，

即f(x)在（0，+∞）上是增函数。

解：（1）f(x)是偶函数，定义域是R，

∵f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x)，

∴函数f(x)是偶函数。

（2）f(x)是单调递增函数，

证明：当x∈(-1，0)时，f(x)=x2+2x，

设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，

∵f(x1)-f(x2)=(x12-x22)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，

∴函数f(x)在(-1，0)上是单调递增函数。

解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0；

（2）令y=-x，得

，

故函数f（x）是R上的奇函数

（3）任取，则

，

故f（x）是R上的增函数

∵∴

∴，

又由y=f（x）是定义在R上的增函数，

得，解之得，

故

：⑴；⑵不等式的解集为

本试题主要考查了偶函数与单调性以及不等式的综合运用。

（1）先分析，说明而偶函数在上是增函数在上是减函数.

然后利用变量的不等关系得到结论。

（2）∵为偶函数，且，

∴，等价于

成立，得到范围。

解：⑴∵，

而偶函数在上是增函数在上是减函数.

∴，即

⑵∵为偶函数，且，

∴

即不等式的解集为

⑴⑵函数在上为增函数⑶不等式的解集为

本试题主要是考查了抽象函数的单调性的运用

（1）∵对于任意的，都有

∴时∴

（2）运用定义法设且∵，得到

（3）

∵ ∵∴

∴∴从而结合已知关系式化简求解。

解 ⑴∵对于任意的，都有

∴时∴………………………4分

⑵设且∵

∴∵∴∵当时∴

∴∴∴函数在上为增函数．………8分

⑶∵ ∵∴

∴∴

∴∴∴

解得 所以不等式的解集为………………………12分