- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
①f（3）的值为______，
②f（2011）的值为______．
正确答案
由题意知，f（-1）=1，f（0）=0，
则f（1）=f（0）-f（-1）=-1，
f（2）=f（1）-f（0）=-1，
f（3）=f（2）-f（1）=0，
f（4）=f（3）-f（2）=1，
f（5）=f（4）-f（3）=1，
f（6）=f（5）-f（4）=0，
f（7）=f（6）-f（5）=-1
=f（1），
…
所以f（2011）=f（6×335+1）=f（1）=-1，
故答案为（1）f（3）=0；（2）f（2011）=-1．
已知函数f(x)=x-
（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）若f（3x-2）＞f（9x），求x的取值范围．
正确答案
（1）任取x1，x2∈（0，+∞）．令x1＜x2
f（x1）-f（x2）=x1-
∵x1，x2∈（0，+∞）．x1＜x2
∴x1-x2＜0，1+
∴f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）由（1）证明知f（x）在其定义域上是单调增函数，又f（3x-2）＞f（9x），
∴3x-2＞9x，即3x-2＞32x，
∴x-2＞2x，得x＜-2
x的取值范围是x＜-2
函数y=|log12x|的单调递减区间是______．
正确答案
y=|log12x|=
所以当0＜x≤1时，y=log12x单调递减，当x＞1时y=log2x单调递增，
所以函数y=|log12x|的单调递减区间是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x0≥1，f（x0）≥1时，有f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
正确答案
（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．则点M关于x=1的对称点（2-x，g（2-x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2-x）=-ax+x3． …（3分）
（2）f′（x）=-a+3x2，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0⇒-a+3=0，得a=3，…（4分）
故f（x）=-3x+x3．f′（x）=-3+3x2=-3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数． …（5分）fmin（x）=f（1）=-2，fmax（x）=f（-1）=2，…（7分）
故对任意x1，x2∈（-1，1），有|f（x1）-f（x2）|＜|2-（-2）|=4． …（8分）
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=-a+3x2＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x2在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在； …（9分）
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．故a≤3． …（11分）
设f（x0）＞x0≥1则f[f（x0）]＞f（x0），∴x0＞f（x0）矛盾，…（13分）
若x0＞f（x0）≥1则f（x0）＞f[f（x0）]∴f（x0）＞x0矛盾！
故f（x0）=x0． …（15分）
已知函数f（x）=2x
（1）设函数y=f（x）的反函数为y=g（x），求函数y=g（x2-2x-3）的单调递增区间；
（2）求满足不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2
正确答案
（1）由f（x）=2x，得y=g（x）=log2x，则y=g（x2-2x-3）=log2（x2-2x-3），
由x2-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
所以函数y=g（x2-2x-3）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
因为y=log2u单调递增，u=x2-2x-3在（3+∞）上递增，
所以y=log2（x2-2x-3）的递增区间为（3+∞）；
（2）f（|x+1|-|x-1|）≥2
所以|x+1|-|x-1|≥
①当x≤-1时，不等式可化为-（x+1）-（1-x）≥
②当-1＜x≤1时，不等式可化为（x+1）-（1-x）≥
所以
③当x＞1时，不等式可化为（x+1）-（x-1）≥
所以x＞1；
综上，x≥
已知函数f(x)=
正确答案
∵对任意x1≠x2，都有
由于函数f(x)=
故答案为：(0，
请写出符合下列条件的一个函数表达式 ______．
①函数在（-∞，-1）上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值3．
正确答案
如函数y=x2+3，在（-∞，0）上是减函数，则在（-∞，-1）上递减；
它是偶函数，当x=0时，有最小值3，
符合条件，
故答案为：y=x2+3等
函数f（x）=-x2+2（a-2）x+3在区间[-2，-1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是______．
正确答案
因为函数f（x）=-x2+2（a-2）x+3在区间[-2，-1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减
而函数的对称轴x=a-2
根据二次函数的性质可得，a-2≥-1且a-2≤1
解可得，1≤a≤3
故答案为：[1，3]
已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
正确答案
（I）定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0；令x=y=-1，得f（-1）=0…6分
（Ⅱ）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），…9分
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），…12分
∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数…13分
已知f(
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明．
正确答案
（Ⅰ）令t=
所以f（x）=
所以函数f（x）为定义域上的奇函数．
（Ⅱ）函数f（x）为实数集上的减函数．
证明：设x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
=
所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）为实数集上的减函数．
若f(x)=
正确答案
由所求式子自变量的特征考虑f(x)+f(
∴f(2)+f(
故答案为：0
当0≤x≤1时，函数y=x
正确答案
由基本不等式ab≤
可知y=x
当且仅当x=
故答案为
已知函数f(x)=
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．
正确答案
（1）由f（1）=-1，得
∵m＞0，∴m=1． （4分）
（2）由（1），m=1，从而f(x)=
当x∈（-∞，0]时，f(x)=
设x1，x2∈（-∞，0]，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
∵x1＜x2≤0，∴x1-x2＜0，x1-2＜0，x2-2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递增函数． （10分）
（3）原方程即为
x=0恒为方程①的一个解． （11分）
若x＜0时方程①有解，则
由2-
若x＞0且x≠2时方程①有解，则
由2+
综上可得，当k∈[-
当k∈(-∞，-
当k∈(0，
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴
∴a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x2+2x+1
∴g（x）=x2+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴[-2，2]⊂(-∞，
∴2≤
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
已知函数f（x）=log2
（1）求f（
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
正确答案
（1）f（
f（-
（2）函数的定义域为（-1，1），
f（-x）+f（x）=log2
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
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