热门试卷

（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），

即=-（2分）

整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为f(2)=-，

所以f(2)==-，解得p=2．

故所求解析式为f(x)=．（6分）

（Ⅱ）由（1）得f(x)==-(x+)．

设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=[(x2+)-(x1+)]═(x1-x2)×．（10分）

因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1-x2＜0，1-x1x2＞0，

从而得到f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）

设u=，任取x2＞x1＞1，则

u2-u1=-

=

=．

∵x1＞1，x2＞1，∴x1-1＞0，x2-1＞0．

又∵x1＜x2，∴x1-x2＜0．

∴＜0，即u2＜u1．

当a＞1时，y=logax是增函数，∴logau2＜logau1，

即f（x2）＜f（x1）；

当0＜a＜1时，y=logax是减函数，∴logau2＞logau1，

即f（x2）＞f（x1）．

综上可知，当a＞1时，f（x）=loga在（1，+∞）上为减函数；

当0＜a＜1时，f（x）=loga在（1，+∞）上为增函数．

（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．

令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）

解得f（0）=0；

（2）函数f（x）是R上的奇函数．

证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，

∴f（-x）=-f（x），

∴函数f（x）是R上的奇函数．

（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，

而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，

且f(9)+f()=f(1)=0，得f()=2.

（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2且0＜x1＜x2⇒＞1 ⇒f()＜0

∴f(x2)=f(•x1)=f()+f(x1)＜f(x1)

∴f（x）在R+上为减函数．

（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f()，其中0＜x＜2，

由可（Ⅱ）得：

解得x的范围是(1-，1+)．

（1）当a＞0且a≠1时，由3-ax≥0得x≤，f（x）的定义域是(-∞，]（2分）

当a=0时，f（x）的定义域是R（4分）

当a＜0时，由3-ax≥0得x≥，所以f（x）的定义域是[，+∞)（6分）

（2）当a＞1时，由题意知1＜a≤3；（8分）

当0＜a＜1时，为增函数，不合；（10分）

当a＜0时，f（x）在区间（0，1]上是减函数（12分）

综上a的范围为（-∞，0）∪（1，3]（14分）

（1）求导函数可得f′(x)=-2ax+1

令f′(x)=-2ax+1≥0，

∵x＞0，∴2a≤+=(+)2-

∵x＞0，∴+≥0

∴2a≤0，∴a最大值为0

f′(x)=-2ax+1≤0，即-2ax2+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数

综上，a最大值为0；

（2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0

∴a＞0

构造函数y1=lnx，y2=ax2-x

∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，

∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y1＜y2，即对于任意的x∈（0，+∞），y1=lnx在y2=ax2-x的下方，

如图所示，

∴0＜≤1，

∴a≥1