集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知奇函数f(x) 在区间 [0 ，+∞）上单调增加，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是；

正确答案

（－∞ ，）

略

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题型：简答题

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简答题

函数的定义域为，并满足条件

①对任意，有；

②对任意，有；

③．

（1）求的值；

（2）求证：在上是单调递增函数；

（3）若，且，求证．

正确答案

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解法一：（1）令，则

（2）任取，且

设，则

，，在上是单调递增函数

（3）由（1）（2）知，

又，

解法二：（1）对任意，有

当时，，，

（2），

是上的单调增函数

在上是单调递增函数

（3）

而，

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题型：简答题

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简答题

(12分)已知：函数，

　　(1)求：函数f(x)的定义域；

　　(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由；

　　(3)判断函数f(x)在()上的单调性，并用定义加以证明。

正确答案

(1) (2)略 (3)略

(1)定义域：；

　　　　(2)定义域关于原点对称，，　

则：函数是奇函数；

(3)判断：函数在上是增函数，证明：任取且，

　∵，∴，　∴，即

　∴函数在(-,-2)上是增函数。

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题型：填空题

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填空题

设f(x)=，那么f()+f()+f()+…+f()的值等于______．

正确答案

∵f(x)=，

∴f（x）+f（1-x）=+=+=+==1．

∴f()+f()+f()+…+f()=55（f()+f()）=55．

故答案为：55．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）当时，解不等式＞；

（Ⅱ）讨论函数的奇偶性，并说明理由．

正确答案

（Ⅰ）｛x︱＜＜1｝；（Ⅱ）既不是奇函数，也不是偶函数．

本试题主要是考查了函数中不等式的求解，以及奇偶性的判定的综合运用。

（1）根据已知解析式，可知函数当a=2时的表达式，然后解不等式，结合了一元二次不等式的思想来完成求解。

（2）先求解函数定义域，看看是否关于原点对称，然后利用奇偶性中函数的f(x)与f(-x)的关系得到结论。

解：（Ⅰ）当时，，，----------2分

由＞，得＞，------------4分

＜，＜＜ ------------------6分

∴原不等式的解为｛x︱＜＜1｝； --------------7分

（Ⅱ）的定义域为， ----------------8分

当时，，，所以是偶函数．--------10分

当时，， --------12分

所以既不是奇函数，也不是偶函数． -------------14分

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题型：简答题

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简答题

定义在R上的非负函数，对任意的都有且，，当时，都有．

（1）求证：在上递增；

（2）若且，比较与的大小．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

设，函数．

（1）求的定义域，并判断的单调性；

（2）当定义域为时，值域为，求、的取值范围．

正确答案

解：（1）由，得的定义域为．

因为在为增函数，在也为增函数，

所以当时，在为减函数，在也为减函数．

（2）由（1）可知，要使在上有意义，

必有或，但当时，不符合题意，

所以且．

当,在上为减函数，

所以，，

即方程有两个大于3的相异实根，

令，则有

得．

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．

正确答案

（1）的递增区间为

的递减区间为

（2）或.

（1）因为

令得

由时，在根的左右的符号如下表所示

所以的递增区间为

的递减区间为

（2）由（1）得到，

要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，

即或.

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题型：简答题

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简答题

已知，函数为自然数的底数，

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）函数是否为上的单调函数？若是，求出的取值范围，若不是，请说明理由。

正确答案

（1）（2）函数不可能在R上单调

(1)转化为对都成立。令

，则在单调递增，

（2）若函数在R上单调递减，则对都成立，即对一切都成立，对一切都成立，即，这是不可能的，故函数不可能在R上单调递减。

若函数在R上单调递增，同样可以推出矛盾。综上可知，函数不可能在R上单调。

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题型：填空题

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填空题

设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．

①f（x）在D内是单调函数；

②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．

如果f（x）=+k为闭函数，那么k的取值范围是______．

正确答案

∵k是常数，函数y=是定义在[-，+∞）上的增函数，

∴函数f（x）=+k是[-，+∞）上的增函数，

因此，若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，

使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．

可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）

∴，

可得方程k=x-在[-，+∞）上有两个不相等的实数根a、b

令t=，得x=，设函数F（x）═x-=g（t），（t≥0）

即g（t）=t2-t-，

在t∈[0，1]时，g（t）为减函数-1≤g（t）≤-；在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数g（t）≥-1；

∴当-1＜k≤-时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x-，

当f（x）=+k为闭函数时，实数k的取值范围是：-1＜k≤-．

故答案为：-1＜k≤-

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)=2x-2-x-，则f（2）=______．

正确答案

∵f(x)=2x-2-x-，

∴f（2）=22-2-2-

=4--

=-．

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

有下列几个命题：

①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是______．

正确答案

①∵函数y=2x2+x+1，对称轴为x=-，开口向上

∴函数在[-4，+∝）单调增

∴在（0，+∞）上是增函数，

∴①错；

②虽然（-∞，-1）、（-1，+∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，

∴②错；

③5+4x-x2≥0，

解得-1≤x≤5，由于[-2，+∞）不是上述区间的子区间，

∴③错；

④∵f（x）在R上是增函数，且a＞-b，

∴b＞-a，f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a），f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），

因此④是正确的．

故答案：④

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题型：填空题

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填空题

已知f(3x)=4xlog23+，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（28）的值等于______．

正确答案

设2t=3x，则x=tlo，

∴f（2t）=4×tlo•lo+=4t+．

∴f（2）+f（4）+f（8）+…+f（28）=4（1+2+…+8）+8×=2012．

故答案为2012．

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题型：填空题

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填空题

函数y=++的最小值为______，最大值为______．

正确答案

∵y=++，

∴定义域为[0，13]

y′=-+=0

解得：x=9

当x∈（0，9）时，y′＞0，即函数在（0，9）上单调递增

当x∈（9，13）时，y′＜0，即函数在（9，13）上单调递减

∴当x=9时函数y=++的最大值11

当x=0时，y=3+，当x=13时，y=2+

∴当x=0时，函数y=++的最小值3+

故答案为：3+，11．

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题型：填空题

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填空题

设[x]表示不超x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n∈N*，定义=，x∈[1，+∞)，则（i）=______；（ii）当x∈[2，3）时，函数的值域是______．

正确答案

当x=时，[]=1，==；

当x∈[2，3）时，∵[x]=2，∴Cxn=，

∴Cx8==．

又∵当x∈[2，3）时，f（x）=x（x-1）∈[2，6），

∴当[2，3）时，==28，

当x→3时，[x]=2，==，

∴Cx8=∈（，28）．

故答案为：，(，28]．

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