集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

函数是定义在R上的奇函数，当时，，则在上所有零点之和为．

正确答案

8

试题分析：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，又∵函数，∴∴函数g（x）是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数在[-6，6]上所有的零点的和为0，∴函数在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，，即∴函数在（0，2]上的值域为，当且仅当x=2时，=1；

又∵当x＞2时，

∴函数在（2，4]上的值域为，当且仅当x=４时，=；

函数在（４，６]上的值域为，当且仅当x=６时，=；

函数在（６，８]上的值域为，当且仅当x=８时，=；

函数在（８，10]上的值域为，当且仅当x=10时，=；

故在（8，10]上恒成立，

注意到的零点就是函数的图象与曲线交点的横坐标,

所以在（8，10]上无零点;

同理在（10，12]上无零点;

依此类推，函数在（8，+∞）无零点;

综上函数在[-6，+∞）上的所有零点之和为8;故应填入:8.

如下图:

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题型：简答题

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简答题

已知函数,曲线在点处切线方程为.

(1)求的值；

(2)讨论的单调性,并求的极小值。

正确答案

(1)；(2).

当.

试题分析：(1)对函数数求导，利用切线的斜率为2，切点为曲线与切线的交点，可得的值.(2)利用导函数的,构建不等式讨论的单调性，并利用单调区间判断极值.

试题解析：

解： 2分

因为在点处切线方程为.

4分解得： 5分

(2)由(I)知,

7分

令 9分

从而当。 11分

故. 12分

当 14分

1

题型：填空题

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填空题

若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .

正确答案

试题分析：因为函数开口向上，对称轴为，且函数在为减函数，所以，解得．故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知函数.

(Ⅰ)若,求的取值范围;

(Ⅱ)若是以2为周期的偶函数,且当时,有.

求当时，函数的解析式.

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)

本试题主要是考查了函数解析式的求解和函数的单调性和奇偶性的综合运用以及不等式的求解问题。

（1）因为

由,得.

由得求解交集得到结论。

（2）因为是以2为周期的偶函数,且当时,有

当xÎ2时,2-xÎ,因此

那么可知结论。

解：（Ⅰ)

由,得.

由得

因为,所以,.

由得

(Ⅱ)当xÎ2时,2-xÎ,因此

即时，

1

题型：填空题

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填空题

已知定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（）。

正确答案

-8

1

题型：填空题

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填空题

函数y=-（x-3）|x|的递增区间是（）。

正确答案

1

题型：填空题

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填空题

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与轴交于点N（），则的象就是，记作

给出下列命题：①； ②； ③是奇函数； ④在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是______________.（填出所有真命题的序号）

正确答案

②④

试题分析：当为四分之一分点时，点落在轴的负半轴上，所以当为二分之一分点时，点为坐标原点，所以因为自变量的取值范围为，所以不是奇函数.因为当自变量逐步增大时，点沿轴从轴的负半轴逐步过渡到轴的正半轴，即逐步增大，所以在定义域上单调递增.

1

题型：填空题

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填空题

已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：

①的值为0；②函数在定义域上为周期是2的周期函数；

③直线与函数的图像有1个交点；④函数的值域为.

其中正确的命题序号有 .

正确答案

①③④

试题分析：根据题意,可在同一坐标系中画出直线和函数的图象如下:

由图可知,(1)(3)(4)正确.

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题型：简答题

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简答题

在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，若、是曲线上的两个动点，且满足，求的取值范围.

正确答案

（1）；（2）.

试题分析：（1）解法一是从条件得到点为线段的中点，设点，从而得到点的坐标为，利用点在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线的方程；解法二是利用相关点法，设点，点，通过条件确定点与点的坐标之间的关系，并利用点的坐标表示点的坐标，再借助点在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线的方程；（2）先利用条件将化简为，并设点，从而得到的坐标表达式，结合点，将的代数式化为以的二次函数，结合的取值范围，求出的取值范围.

试题解析：（1）解法1：由知点为线段的中点.

设点的坐标是，则点的坐标是.

因为点在圆上，所以.

所以曲线的方程为；

解法2：设点的坐标是，点的坐标是，

由得，，．

因为点在圆上，所以． ①

把，代入方程①，得．

所以曲线的方程为；

（2）解：因为，所以．

所以．

设点，则，即．

所以，

因为点在曲线上，所以．

所以．

所以的取值范围为.

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题型：简答题

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简答题

已知

（1）若，求的值；

（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.

正确答案

解：（1）；（2）。

(1)由得, 可转化为sinx=0,所以.

(2) 在上是增函数,

令，在是增函数，则在是增函数

然后转化二次函数区间定轴动的问题解决.

解：（1）由得即

则…………4分

（2）在上是增函数，

令，在是增函数，则在是增函数

① 解得

②，在是增函数，符合

③ 解得

综上得…………6分

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题型：填空题

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填空题

已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若恒成立，则实数的取值范围是___________。

正确答案

是定义在上的偶函数，且当时为减函数，在时为增函数，恒成立，有：

或

解得：

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题型：简答题

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简答题

（本题满分13分）

设实数，设函数的最大值为。

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求

正确答案

（1）

（2）

解：（1）因为，

所以

（2）直线是抛物线的对称轴，又

所以，当，即，则；

当，即，则；

当，即，则

综上，有

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题型：简答题

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简答题

已知函数满足：①定义在上；②当时，；③对于任意的，有.

（1）取一个对数函数，验证它是否满足条件②，③；

（2）对于满足条件①，②，③的一般函数，判断是否具有奇偶性和单调性，并加以证明.

正确答案

(1)当时，.

又

，即.

故满足条件②，③.

（2）在上是奇函数. 在上是减函数.

，当，时先计算出，在利用对数函数的性质，得；利用对数的运算法则，得出。

解：(1)当时，.

又

，即.

故满足条件②，③.

（2）这样的函数是奇函数.

在上是奇函数.

这样的函数是减函数.

当时，，由条件知，即.

在上是减函数.

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题型：填空题

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填空题

已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点(1 , 0)对称，若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是____▲_____

正确答案

(13,49)

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知定义在区间上的函数为奇函数且

（1）求实数m，n的值；

（2）求证：函数上是增函数。

（3）若恒成立，求t的最小值。

正确答案

解：（1）对应的函数为，对应的函数为 ………2分

（2） …………3分

理由如下：

令，则为函数的零点。

，

方程的两个零点

因此整数 …………7分

（3）从图像上可以看出，当时，

当时，

…………12分

略

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