集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=loga(x2-ax+2)在（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为______．

正确答案

若0＜a＜1，y=logat在（0，+∞）上为减函数，则函数t=x2-ax+2在（2，+∞）上为减函数，这是不可能的，故a＞1

a＞1时，y=logat在（0，+∞）上为增函数，则函数t=x2-ax+2在（2，+∞）上为增函数，且t＞0在（2，+∞）上恒成立

只需，解得a≤3

∴1＜a≤3

故答案为1＜a≤3

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题型：填空题

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填空题

已知f（+i）=z+2+2i，则f（3+2i）=______．

正确答案

f（3+2i）=f（3+i+i），所以=3+i，z=3-i．

所以f（3+2i）=f（3+i+i）=（3-i）+2（3+i）+2i=9+3i．

故答案为：9+3i．

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题型：填空题

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填空题

设奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）=-f（x+），若f（-1）≤1，f（5）=，则a的取值范围是______．

正确答案

由f（x）=-f（x+），得f（x+）=-f（x），所以f（x+3）=f（x），即函数f（x）的周期是3．

所以f（5）=f（-1）．

因为f（x）是奇函数，且f（-1）≤1，

所以≤1，即≤0，解得1＜a≤4．

即a的取值范围是（1，4]．

故答案为：（1，4]．

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题型：填空题

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填空题

设x＞﹣1，函数的最小值是（）

正确答案

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题型：填空题

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填空题

y＝f(x)是定义在R上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，不等式f())的解集为________．

正确答案

(－，1)

∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，∴f())等价为f(||)|)＝f()，∴||<，即2|x|<|x＋1|，平方得4x22＋2x＋1，∴3x2－2x－1<0，解得－，1)．

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题型：填空题

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填空题

函数y＝在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．

正确答案

[2，＋∞)

y＝＝1－，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a)、(－a，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a，即a≥2.

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题型：填空题

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填空题

f（x）是定义在（-1，1）上的减函数，且f（2-a）-f（a-3）＜0．求a的范围______．

正确答案

∵f（x）是定义在（-1，1）上的减函数

∴f（2-a）-f（a-3）＜0可化为

f（2-a）＜f（a-3）

即

解得：2＜a＜

故答案为：2＜a＜

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)=-的单调增区间是______．

正确答案

根据反比例函数的性质可知，f（x）=-的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞）

故答案为：（-∞，0），（0，+∞）

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=+a，（a≠0）为奇函数，则方程f(x)=的解x=______．

正确答案

∵函数f(x)=+a，（a≠0）为奇函数，

∴+a=-a-，

解得a=，

∴f(x)=+，

∴+=，

∴3x=4，

解得x=log34，

故答案为log34．

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题型：填空题

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填空题

已知定义在上的奇函数在时满足，且在恒成立，则实数的最大值是．

正确答案

试题分析：由题意可知可化为：，易知奇函数在R上单调递增，所以有在恒成立，因此在恒成立，又因为当时，，所以，即实数的最大值是.

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)＝2sin ωx－4sin 2＋2＋a(ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间[6,16]上的最大值为4，求a的值．

正确答案

(1) 16 (2) a＝2.

(1)f(x)＝2sin ωx－4sin2＋2＋a＝2sin ωx－2(1－cos ωx)＋2＋a＝2sin ＋a，∴2ω＋＝，得ω＝，∴f(x)的最小正周期T＝＝16.

(2)由(1)可得f(x)＝2sin ＋a，∵x∈[6,16]，∴x＋∈，∴当x＋＝，即x＝16时，f(x)最大，由2sin ＋a＝4，得a＝2.

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题型：简答题

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简答题

设函数（）．

（1）讨论的奇偶性；

（2）当时，求的单调区间；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

(1)当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；

(2)（）为减区间，[）为增区间；(3)

试题分析：（1）当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；

（2）a=1时，f（x）=x2+|x-1|=，再进行配方，利用函数的图象，确定函数的单调区间；（3）f（x）=x2+|x-a|＜10对x∈（-1，3）恒成立，等价于x2-10＜x-a＜10-x2，分离参数可得,对x∈（-1，3）恒成立，从而可求实数a的取值范围．

试题解析：（1）若a=0时，f（x）为偶函数，若a0时，f（x）为非奇非偶函数 3分

得f（x）:（）为减区间，[）为增区间 7分

（3）f（x）=+|x-a|<10对恒成立，-10

14分

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题型：简答题

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简答题

设函数.

（1）当时，证明：函数不是奇函数；

（2）设函数是奇函数，求与的值；

（3）在（2）条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集.

正确答案

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）当时，，函数的定义域为，要证明函数不是奇函数，从奇函数的定义出发，可考虑选一个特殊值，满足，若最简单；（2）由函数是奇函数，则有对函数定义域内的任意一个，都满足，由此等式恒成立可得关于的等式求出，也可先用特殊数值求出，再进行检验；（3）先判断函数的单调性，再用定义法或导数法证明，再解不等式，解不等式时可直接求解，也可利用函数单调性求解.

试题解析：（1）当时，

由，知函数不是奇函数.

（2）由函数是奇函数，得，

即对定义域内任意实数都成立，化简整理得

对定义域内任意实数都成立

所以，所以或

经检验符合题意.

（3）由（2）可知

易判断为R上的减函数，证明如下：

因为，所以为R上的减函数；

由，不等式即为，由在R上的减函数可得，

所以不等式的解集为.

另解：由得，即，解得，所以.

（注：若没有证明的单调性，直接解不等式，正确的给3分）

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题型：填空题

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填空题

如果函数f(x)＝ax2－3x＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a的取值范围是______．

正确答案

[0，]

(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋4，函数在定义域R上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．(2)当a≠0时，二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝.因为f(x)在区间(－∞，6)上单调递减，所以a>0，且≥6，解得0.综上所述，0≤a≤.

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题型：填空题

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填空题

设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.

其中所有正确命题的序号是________．

正确答案

①②④

由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，

则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝1＋x，

函数y＝f(x)的图像如图所示：

当3

f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．

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正确答案

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