集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数在[0，＋∞)上是减函数，试比较与的大小．

正确答案

．

试题分析：由于函数是上的减函数，利用减函数的定义，要比较与的大小，必须先比较与的大小．

试题解析：解　∵，

又∵在上是减函数，

∴．

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题型：简答题

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简答题

（本小题12分）

已知函数是奇函数，且

（1）求，的值；

（2）用定义证明在区间上是减函数.

正确答案

（1）；（2）见解析。

试题分析：（1）由题意知，，所以 ①

因为函数是奇函数，所以，

所以 ②

由①②可得（舍去），所以

（2）由（1）可得，设，则

因为，且在为增函数，

所以，，所以，

所以，所以在区间上是减函数

点评：已知一个函数为奇函数，如果有意义，则，这个条件非常好用，常常能使运算变得非常简单；用定义法证明函数单调性时，要严格按照函数单调性的定义，遵循设变量、作差、变形、判断符号、下结论等步骤进行证明，另外需要注意的是变形时要化到最简单的形式，不要用已知函数的单调性来证明未知函数的单调性.用定义法证明函数的单调性是一个非常重要的考点，学生应该注意牢固掌握，灵活应用.

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题型：简答题

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简答题

定义在R上的单调函数f(x)，存在实数，使得对于任意,

都有：恒成立.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且对任意正整数n,有 ,又数列满足，求的通项公式.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

本试题主要是考查了函数的赋值思想的运用iji求解哈数的递归关系式运用。

（1）令得

令得即f(1)=-f(0)

∴又f(x)在R上单调，∴

（2）由（1）得

∴

，然后得到分析证明。

解：（1）令得………(2分)

令得即f(1)=-f(0)

∴又f(x)在R上单调，∴…………………(5分)

（2）由（1）得

∴……………………(6分)

∴ ∴

∴…………………………(9分)

∴即∴

∴…………………(12分)

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题型：简答题

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简答题

（本题满分8分）已知函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）若不等式的解集为A，且，求实数的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）当时，，，

，即为奇函数. 　　　　　　　　　　　……………………3分

（Ⅱ），，

，

．　　　　　……………………………………………8分

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数，

（1）求的定义域；（2）讨论函数的单调性。

正确答案

（1）a>1时，定义域为；0（2）增函数

略

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题型：简答题

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简答题

设，求函数的最大值与最小值。

正确答案

最大值，最小值

略

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题型：简答题

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简答题

正确答案

见解析

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）与函数g(x)=log12x的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是______．

正确答案

∵函数f（x）与函数g(x)=log12x的图象关于直线y=x对称，

∴f（x）=()x

∴函数f（x）在R上单调递减

∵t=x2+2x=（x+1）2-1，

∴t=x2+2x在（-∞，-1]上单调递减

∴函数f（x2+2x）的单调递增区间是（-∞，-1]

故答案为：（-∞，-1]．

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

正确答案

（Ⅱ）

（Ⅰ）当时，，其定义域是

∴ …………2分

令，即，解得或．

，∴ 舍去．

当时，；当时，．

∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即．

∴ 函数只有一个零点． ……………………6分

（Ⅱ）显然函数的定义域为

∴ ………7分

①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分

② 当时，等价于，即

此时的单调递减区间为．

依题意，得解之得． ………10分

③ 当时，等价于，即

此时的单调递减区间为，

∴ 得

综上，实数的取值范围是 …………12分

法二：

①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分

②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间

上恒成立，只要恒成立，

解得或

综上，实数的取值范围是 …………12分

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题型：填空题

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填空题

已知三个函数：①y=2cosx；②y=1-x3；③y=2x+1．其中满足性质：“对于任意x1，x2∈R，若x1＜x0＜x2， α=， β=，则有|f（α）-f（β）|＜|f（x1）-f（x2）|成立”的函数是 ______．（写出全部正确结论的序号）

正确答案

∵x1＜x0＜x2， α=， β=，

∴x1＜α＜β＜x2，

∵函数y=1-x3在定义域上是减函数，∴有f（x1）＞f（α）＞f（β）＞f（x2），

∴f（x1）-f（x2）＞f（α）-f（β），即|f（α）-f（β）|＜|f（x1）-f（x2）|成立；

∵函数y=2x+1在定义域上是增函数，∴f（x1）＜f（α）＜f（β）＜f（x2），

∴f（x2）-f（x1）＞f（β）-f（α），即|f（α）-f（β）|＜|f（x1）-f（x2）|成立；

由∵函数y=2cosx在定义域上不是单调函数，∴|f（α）-f（β）|＜|f（x1）-f（x2）|不成立．

故答案为：②③．

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题型：填空题

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填空题

对于∀x∈R+，用F（x）表示log2x的整数部分，则F（1）+F（2）+…+F（1023）=______．

正确答案

令F（1）+F（2）+…+F（1023）=S，

S=1×2+2×22+3×23+…+9×29

2S=1×22+2×23+3×24+…+8×29+9×210，

S=9×210-210+2=8194

故答案为：8194

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）满足2f(x)-f()=，则f（x）的最小值为 ______．

正确答案

∵2f(x)-f()=…①

∴2f() -f(x)=|x|…②

联立①②解得：f（x）=(|x|+)

而f（x）=(|x|+)≥×2=当且仅当|x|=时取等号

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）=|2x-1|+x+3，则f（-2）=______；若f（x）≤5，则x的取值范围是______．

正确答案

f（-2）=|2•（-2）-1|+（-2）+3=6，

将f（x）=|2x-1|+x+3≤5变形为

或，

解得-1≤x＜或≤x≤1，即-1≤x≤1．

所以，x的取值范围是[-1，1]．

故答案为：6；[-1，1]．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=则满足等式f（1-x2）=f（2x）的实数x的集合是______．

正确答案

∵f（1-x2）=f（2x）

当即0≤x≤1时，则(1-x2)2+1=(2x) 2+1，解可得，x=-1

当即x＜-1时，则f（1-x2）=f（2x）=1满足题意

当-1≤x＜0时，由f（1-x2）=f（2x）可得（1-x2）2+1=1，解可得x=-1满足题意

当即x＞1时，由（1-x2）=f（2x）=1可得，1=（2x）2+1，解可得x=0不满足题意

综上可得，x=-1或x≤-1

故答案为：x=-1或x≤-1

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题型：填空题

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填空题

已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，那么a2+b2+c2=______．

正确答案

a+b+c=4

两边平方得，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=16，

移项得，a2+b2+c2=16-2ab-2ac-2bc=16-2（ab+ac+bc）

∵ab+bc+ac=4，

则有a2+b2+c2=8．

故答案为：8

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