集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

f （x）为偶函数且x≥0时，f（x）=2x+log2（x+3）则f （-1）=______．

正确答案

∵f（x）是R上的偶函数，

∴f（-x）=f（x），

∵当x＞0时，f（x）=2x+log2（x+3），

令x＜0，可得-x＞0，则f（-x）=2-x+log2（3-x）=f（x），

∴f（-1）=2-（-1）+log2[3-（-1）]=2+log24=4，

故答案为4．

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题型：填空题

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填空题

函数y=lg（4+3x-x2）的单调增区间为______．

正确答案

由4+3x-x2＞0，解得-1＜x＜4，

所以函数的定义域为（-1，4）．

函数y=lg（4+3x-x2）的增区间即为函数y=4+3x-x2的增区间且4+3x-x2＞0，

因此所求增区间为（-1，]．

故答案为：（-1，]．

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题型：填空题

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填空题

若函数f(x)=则f(-)的值等于______．

正确答案

f(-)=f(-+1)=f(-)

=f(-+1)

=f(-+1+1)

=f()

=2×-1=2．

则f(-)的值等于2

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

函数y=log12(x2-3x+2)的增区间是 ______．

正确答案

y=log12(x2-3x+2)的定义域为：（-∞，1）∪（2，+∞）

令z=x2-3x+2 则原函数可以写为：y=log12z是单调递减函数

故原函数的增区间为：（-∝，1）

故答案为：（-∝，1）

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（-2）=-1，则f（2009）=______．

正确答案

∵f（x）是奇函数且周期为3，

f（-2）=-1，

∴f（2009）=f（669×3+2）

=f（2）

=-f（-2）

=-（-1）

=1．

故答案为：1．

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题型：填空题

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填空题

f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，若f（x）＜f（2x-3），则x取值范围是______．

正确答案

∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数

∴f（x）＜f（2x-3），等价于x＞2x-3＞0

∴＜x＜3

∴x取值范围是＜x＜3

故答案为：＜x＜3

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题型：填空题

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填空题

已知△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为______．

正确答案

设CD：CA=k，则因为点D在AC上，所以0＜k＜1

∵DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴S△DCE：S△ACB=（CD：CA）2=k2，

∵S△ABC=1，∴S△DCE=k2；

∵AD：AC=（AC-CD）：AC=1-k，∴S△ABD：S△ABC=AD：AC=1-k，∴S△ABD=1-k

∵DE∥AB，∴CE：BE=CD：AD=k：（1-k）

∵S△DCE：S△BDE=CE：BE=k：（1-k）

∴S△BDE=[（1-k）：k]×S△DCE=-k2+k

当k2=1-k时，k2+k-1=0，∴k=；当k2=-k2+k时，2k2-k=0，∴k=；

当1-k=-k2+k时，k2-2k+1=0，∴k=1

∴y=

∴当k=时，y有最小值=1-k=k2=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果，那么此县养鸡只数最多的那年有（）万只鸡．

正确答案

31.2

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题型：填空题

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填空题

已知y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（1-a）＜f（2a-1），则a的取值范围是（）

正确答案

0＜a＜

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)满足：对任意实数x1，x2，当x12时，f（x1）2），且f（x1+x2）=f（x1）f（x2）。写出一个，满足上述条件的函数（）

正确答案

y=2x(底数大于1的指数函数)(答案不唯一)

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．

正确答案

因为f(a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，所以原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．

又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2.

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题型：简答题

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简答题

设函数，。

（1）当时，求的单调区间；

（2）（i）设是的导函数，证明：当时，在上恰有一个使得；

（ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。

注：为自然对数的底数。

正确答案

（1）的减区间是；增区间是

（2）在上恰有一个使得.

（ⅱ）。

试题分析：（1）当时， 1分

当时，；当时，

所以函数的减区间是；增区间是 3分

（2）（ⅰ） 4分

当时，；当时，

因为，所以函数在上递减；在上递增 6分

又因为，

所以在上恰有一个使得. 8分

（ⅱ）若，可得在时，，从而在内单调递增，而，

，不符题意。

由（ⅰ）知在递减，递增，

设在上最大值为则，

若对任意的，恒有成立，则， 11分

由得，，

又，。 13

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先通过求导数，研究导数值的正负情况，确定函数单调区间。应用同样的方法，研究函数图象的形态，明确方程解的情况。作为“恒成立问题”往往转化成求函数的最值。

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）若定义在区间D上的函数对于区间上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间上的 “凹函数”．试证当时，为“凹函数”．

正确答案

（1）（2）理解凹函数的定义，然后结合中点函数值与任意两点的函数值和的关系式作差法加以证明。

试题分析：解(1)由,得

函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数,则在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.

令,上述问题等价于,而为在上的减函数,则,于是为所求.

(2)证明:由得

而 ①

又, ∴ ②

∵ ∴,

∵ ∴ ③

由①、②、③得

即,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数

点评：结合均值不等式的思想，以及函数的解析式来求解，属于中档题。

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题型：填空题

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填空题

某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：

①，；②；③.

能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足，则=_____________.

正确答案

③,

试题分析：因为①②中函数要么单调增，要么单调减，不满足题意，③为二次函数先减后增，满足题意，所以选③．由得：，解得所以．

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题型：填空题

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填空题

定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________．

正确答案

f(sin α)＞f(cos β)

因为f(x＋2)＝f(x)⇒f(x)的周期为2，所以f(x)，x∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f(x)是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以＜α＋β＜π⇒0＜－β＜α＜⇒1＞sin α＞sin＝cos β＞0⇒f(sin α)＞f(cos β)．

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