热门试卷

(1) x < －1或0 < x < 1     (2) {m | m > 4－2}

(1) f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，

∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，

∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1.

(2) N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，

M∩N =" {m" | g(q) < －1}……………3分

由g(q) < －1得 sin 2q+ m cos q－2m < －1 Þ cos 2q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立

Þ(cos 2q－m cos q + 2m－2)min > 0

然后换元构造函数设t = cosq，h(t) = cos 2q－m cos q + 2m－2

= t 2－mt + 2m－2 ,求其最值即可

(1)依题意，f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，

∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，

∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1…………… 2分

(2)N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，

M∩N =" {m" | g(q) < －1}……………3分

由g(q) < －1得 sin 2q+ m cos q－2m < －1 Þ cos 2q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立

Þ(cos 2q－m cos q + 2m－2)min > 0…………………4分

设t = cosq，h(t) = cos 2q－m cos q + 2m－2 = t 2－mt + 2m－2

= (t－) 2－+ 2m－2,

∵  cosq∈[－1,1] Þt∈[－1,1]，h(t) 的对称轴为 t = …5分

1°当 > 1，即 m > 2 时，h(t) 在 [－1,1] 为减函数

∴  h(t)min =" h(1)" = m－1 > 0 Þm > 1 Þm > 2…………………7分

2°当 －1≤≤1，即 －2≤m≤2 时，

∴  h(t)min = h() = －+ 2m－2 > 0 Þ4－2< m < 4 + 2 

Þ4－2< m≤2…………9分

3°当 < －1，即 m < －2 时，h(t) 在 [－1,1] 为增函数

∴  h(t)min = h(－1) = 3m－1 > 0 Þ m > 无解………………11分

综上，m > 4－2 Þ M∩N =" {m" | m > 4－2}……………12分

另解：. 解：依题意，f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，

∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，

∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1……………… 2分

∴  N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，

M∩N =" {m" | g(q) < －1}…………………3分

由g(q) < －1得 sin 2q+ m cos q－2m < －1 Þ cos 2q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立

Þ(cos 2q－m cos q + 2m－2)min > 0

设t = cosq，h(t) = cos 2q－m cos q + 2m－2 = t 2－mt + 2m－2 = (t－) 2－+ 2m－2

∵  cosq∈[－1,1] Þt∈[－1,1]，h(t) 的对称轴为 t = ，△= m 2－8m + 8 …4分

1°当 △< 0，即 4－2< m < 4 + 2时，h(t) > 0 恒成立.…………………6分

2°当 △≥0，即 m≤4－2或 m≥4 + 2时，………7分

由 h(t) > 0 在 [－1,1] 上恒成立

∴ Þ m≥2 Þ m≥4 + 2………………11分

综上，m > 4－2 Þ M∩N =" {m" | m > 4－2}

(1)       

(2)

∴f(x)在(2，+∞)及(0,1)上是减函数，在(1，2)上为增函数

略

（Ⅰ）；（Ⅱ）2.

试题分析：(Ⅰ)设，则，       ……………3分

   …………6分

（Ⅱ）令，

则.   ……………9分

由图像可知，当时.

所以在上的最大值为2.             …………12分

点评：利用函数的奇偶性求函数的解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；②要利用已知区间的解析式进行代入；③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x)。

（1）见解析；（2）见解析.

本试题主要考查了函数的图象以及函数与不等式的综合运用。

          ……………………6分

（2）当x∈[-1，5]时，f（x）=-x2+4x+5．

g（x）=k（x+3）-（-x2+4x+5）=x2+（k-4）x+（3k-5）=

，

∵k＞2，∴ ．又-1≤x≤5，

①当 ，即2＜k≤6时，

取 ，g（x）min=．

∵16≤（k-10）2＜64，

∴（k-10）2-64＜0，则g（x）min＞0．

②当 ，即k＞6时，取x=-1，g（x）min=2k＞0．

由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．

因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方． ………12分

（Ⅰ）设，则，所以

又因为是定义在上的奇函数，所以 

故函数的解析式为       …………………3分

证明：当且

时，，设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以

所以当时，即       ……………………6分

（Ⅱ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则

（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３

（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３

（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．

所以，解得（舍去）

（ⅳ）当时，则

当时，，此时函数是减函数；

当时，，此时函数是增函数．

所以，解得

综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３

（Ⅰ）,设,证明，（Ⅱ）的最小值是3，讨论a的值对函数最小值的影响。

（1）

（2）当时，有最小值

解：（1）∵的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为

∴有最小值 .                        2分

当2≤≤3时，[有最大值；  4分

当1≤<2时，a∈(有最大值M（a）=f(3)=9a－5;  6分

                                7分

（2）设

则

上是减函数.                            9分

设 则

上是增函数.                             11分

∴当时，有最小值．                       12分

解：（1）由已知f(-x)="-f(x)" 即loga+loga="0        " ………………………….1分

∴（1-mx）(1+mx)="(x+1)(1-x)     " 1-m2x2=1-x2                ∴m=1    …………….3分

当m=1时，=-1＜0 舍去    ∴ m=-1                                ……………….4分

（2）由（1）得f(x)=loga 任取1＜x1＜x2

f(x2)- f(x1)= loga- loga= loga   

∵1＜x1＜x2 ∴(x2+1)(x1-1)-(x2-1)(x1+1)=2(x1-x2) ∴0＜＜1

当a∈（0,1）时 loga＞0，∴f(x2) ＞ f(x1),此时f(x)为增函数…7

当a∈（1，+∞）时 loga＜0，∴f(x2)＜ f(x1) 此时为减函数。.8分            

（3）有（2）知：当a＞1时，f(x)在（1，+∞）为减函数

由＞0有x＜-1或x＞1∴(t,a) （1，+∞）        …………………………..9分

即f(x)在(t,a)上递减，∴f(a)="1," ∴a=1+，且→+∞，∴t="1" ……………12分

略