热门试卷

解：（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）

因为对任意不大于10的正整数m，

都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．（2分）

集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．（3分）

因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*

都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．（4分）

（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}

①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．（5分）

首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x0∈T，其中x0∈S，

因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，

从而1≤2001-x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）

由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，

使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．

对于上述正整数m，

从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S，

则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，

所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．（8分）

②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．

任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，

所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，

不妨设S中有t个元素b1，b2，…，bt不超过1000．

由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，

使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，

所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S．

又bi+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，

即集合A中至少有t个元素不在子集S中，

因此k+t≤2000，所以，得k≤1333，

当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，

取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，

都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，

而此时集合S中有1333个元素．

因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）

解：∵A∪B=A，∴B⊆A．

分两种情况考虑：

（i）若B不为空集，可得m+1≤2m-1，解得：m≥2，

∵B⊆A，A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}，

∴m+1≥-2，且2m-1≤7，解得：-3≤m≤4，

此时m的范围为2≤m≤4；

（ii）若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m-1，解得：m＜2，

综上，实数m的范围为m≤4．

解：A={x|-2＜x＜-1或x＞0}，

设B=[x1，x2]，由A∩B={x|0＜x≤2}，

知x2=2，且-1≤x1≤0，①

由A∪B={x|x＞-2}，

知-2≤x1≤-1．②

由①②知x1=-1，x2=2，

∴a=-（x1+x2）=-1，b=x1x2=-2，

答，a=-1，b=-2．

解：∵B={x|mx+1＜0}，

①m=0时，B=∅，满足B⊆A；

②m＞0时，B={x|x＜-}，满足B⊆A，

∴-≤-3，故0＜m≤；

③m＜0时，B={x|x＞-}，满足B⊆A，

∴-≥2，故-≤m＜0．

综上所述，实数m的取值范围：-≤m≤．

解：因为A={0，-4}…（2分）

由B⊆A，且B≠ϕ

故B={0}或B={-4}或B={0，-4}…（4分）

①若B={0}，则，解得m=-1，…（7分）

此时B={0}，成立

②若B={-4}，则，解得m∈ϕ，…（10分）

③若B={0，-4}，则B=A，所以，解得m=1，…（13分）

综上所述：实数m的取值集合为{1，-1}…（14分）

解：A={x|x（x+4）（x-）=0，x∈Z}={0，-4}，

B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，

若B⊆A，

则B=∅或B={0}或B={-4}或B={0，-4}，

①B=∅时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无解，

△=4（a+1）2-4（a2-1）＜0，解得：a＜-1，

②B={0}时，x=0，a2-1=0，解得：a=±1，

a=1时，B={0，-4}，符合题意，

a=-1时，B={0}，符合题意；

③B={-4}时，x=-4，a2+8a+7=0，a=-1或-7，不符合，

④B={0，-4}时，x=0，-4是方程的根，代入方程得到矛盾；

∴a≤-1或a=1时，B⊆A．

解：（1）∵集合A={x|x2+2x＜0}={x|-2＜x＜0}，B={x|y=}={x|x≥-1}，

∴A∪B={x|x≥-2}．

再根据∁RA={x|x≤-2，或 x≥0}，可得（∁RA）∩B={x|x≥0}．

（2）∵集合C={x|2a＜x＜a+1}且C⊆A，

∴①当2a≥a+1，即当a≥1时，C=∅，满足C⊆A．

②当2a＜a+1，即a＜1时，则由2a≥-2，且a+1≤0，求得a=-1．

综上可得，a的范围为{a|a≥1，或a=-1}．

解：∵A={x|-2≤x≤a}，

①当a＜-2时，A=∅，故B=C=∅，满足C⊂B；

②当a=-2时，A={-2}，故B={-1}，C={1}，不满足C⊂B；

③当-2＜a≤0时，B={y|-1≤y≤2a+3}，C={z|a2≤z≤4}，只需满足2a+3≥4，即a≥，矛盾，舍去．

④当0＜a≤2时，B={y|-1≤y≤2a+3}，C={z|0≤z≤4}，只需满足2a+3≥4，即≤a≤2，

⑤当a＞2时，B={y|-1≤y≤2a+3}，C={z|0≤z≤a2}，只需满足a2≥2a+3，即a≥3．

综上所述，≤a≤2或a≥3或a＜-2

解：设测验都优秀的有x人

根据题意：

参加测验总人数为50，

体能优秀的有40人，

智能优秀的有31人，

两项都不优秀的有4人

∴50=40+31+4-x

解得x=25

故有25人测验都优秀．

解：因为AB，所以a2-3a+4=8或a2-3a+4=a．

由a2-3a+4=8，得a=4或a=-1；

由a2-3a+4=a，得a=2．

经检验：当a=2时集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1、4．