- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知集合U={1，2，…，n}，n∈N*．设集合A同时满足下列三个条件：
①A⊆U；
②若x∈A，则2x∉A；
③若x∈∁UA，则2x∉∁UA．
（1）当n=4时，一个满足条件的集合A是______．（写出一个即可）
（2）当n=7时，满足条件的集合A的个数为______．
正确答案
{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}
16
解析
解：（1）n=4时，集合U={1，2，3，4}，
由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈CUA，则2x∉CUA．
当1∈A，则2∉A，即2∈CUA，则4∉CUA，即4∈A，但元素3与集合A的关系不确定
故A={1，4}，或A={1，3，4}
当2∈A，则4∉A，1∉A，但元素3与集合A的关系不确定
故A={2}，或A={2，3}
（2）n=7时，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，
由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈CUA，则2x∉CUA．
1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A的补集，此时2属于A；
3属于A时，6属于A的补集；3属于A的补集时，6属于A；
而元素5，7没有限制
故满足条件的集合A共有：24=16个
故答案为：{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}；16．
若A={a}，B={0，a2}，A⊆B，则A=______．
正确答案
{1}
解析
解：∵A={a}，B={0，a2}，A⊆B，
∴a=0或a=a2．
∴a=0或1．
a=0，不满足集合中元素的互异性
∴a=1．
故答案为：{1}．
设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，
∴集合A的真子集是：φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，
共有7个，
故选C．
已知集合A={x丨x2+px+q=0}，集合B={x丨x2-3x+2=0}，且A⊆B，求实数p、q所满足的条件．
正确答案
解：B={1，2}；
∵A⊆B；
∴A=∅，{1}，{2}，或{1，2}；
∴若A=∅，则△=p2-4q＜0；
若A={1}，由韦达定理得：
∴p=-2，q=1；
若A={2}，由韦达定理得：
∴p=-4，q=4；
若A={1，2}，由韦达定理得：
∴p=-3，q=2．
解析
解：B={1，2}；
∵A⊆B；
∴A=∅，{1}，{2}，或{1，2}；
∴若A=∅，则△=p2-4q＜0；
若A={1}，由韦达定理得：
∴p=-2，q=1；
若A={2}，由韦达定理得：
∴p=-4，q=4；
若A={1，2}，由韦达定理得：
∴p=-3，q=2．
已知集合M={（x，y）|x+y＞0且xy＞0}，T={（x，y）|x＞0，y＞0}，则M与T的关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵xy＞0
∴x，y同号
又∵x+y＞0
∴x＞0，y＞0
反之当x＞0，y＞0时，
x+y＞0且xy＞0
故T=M
故选：B
已知集合A={x|a-1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵集合A={x|a-1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，
∴
解得3≤a≤4，
故选C．
（2015秋•姜堰市校级月考）已知集合A={x|x2-3x≤0}，B={x|2a≤x≤a+2}
（1）当a=1时，求A∩B；
（2）当集合A，B满足B⊊A时，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）当a=1时，B={x|2≤x≤3}．
∵A={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3}，
∴A∩B={x|2≤x≤3}；
（2）∵B⊊A，
∴B=∅，2a＞a+2，∴a＞2
B≠∅，2a≤a+2，∴a≤2
又2a≥0且a+2≤3，
∴0≤a≤1．
综上，0≤a≤1或a＞2．
解析
解：（1）当a=1时，B={x|2≤x≤3}．
∵A={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3}，
∴A∩B={x|2≤x≤3}；
（2）∵B⊊A，
∴B=∅，2a＞a+2，∴a＞2
B≠∅，2a≤a+2，∴a≤2
又2a≥0且a+2≤3，
∴0≤a≤1．
综上，0≤a≤1或a＞2．
设S是实数集R的真子集，且满足下列两个条件：
①1不属于S；②若a∈S，则
问：（Ⅰ）若2∈S，则S中一定还有哪两个数？
（Ⅱ）集合S中能否只有一个元素？说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）若2∈S，则
∴若2∈S，s中至少还有两个元素
（Ⅱ）若a∈S，则
即a2-a+1=0有解．显然此方程无解．
∴不可能．
答：（1）若2∈S，s中一定还有两个元素
（2）集合S中不可能只有一个元素．
解析
解：（Ⅰ）若2∈S，则
∴若2∈S，s中至少还有两个元素
（Ⅱ）若a∈S，则
即a2-a+1=0有解．显然此方程无解．
∴不可能．
答：（1）若2∈S，s中一定还有两个元素
（2）集合S中不可能只有一个元素．
已知A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|x＜a}，若A⊊B，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|x＜a}，
又A⊊B，
∴a≥3
即实数a的取值范围是[3，+∞）
故选D．
已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|ax-3＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．
正确答案
解：A={x|x+2＞0}={x|x＞-2}，
∵B⊆A，∴a＜0，B={x|ax-3＜0}={x|x＞
∴
∴a≤-
解析
解：A={x|x+2＞0}={x|x＞-2}，
∵B⊆A，∴a＜0，B={x|ax-3＜0}={x|x＞
∴
∴a≤-
（2015春•东台市校级月考）集合A={1，2，3，4，5}中，共有______个非空子集．
正确答案
31
解析
解：集合A={1，2，3，4，5}中，共有5个元素，
故共有25-1=31个非空子集，
故答案为：31．
若集合A={﹙x，y﹚|x2+y2≤16}，B={﹙x，y﹚|x2+y2≤a-1}，且A∩B=B，求a的取值范围．
正确答案
解：∵A∩B=B，
∴集合B是集合A的子集，
∴a-1≤16，
∴a≤17，
∴a∈（-∞，17]，
∴a的取值范围为（-∞，17]．
解析
解：∵A∩B=B，
∴集合B是集合A的子集，
∴a-1≤16，
∴a≤17，
∴a∈（-∞，17]，
∴a的取值范围为（-∞，17]．
如果A={x|x＞-1}，那么正确的结论是（ ）
正确答案
解析
解：∵A={x|x＞-1}，
∴0∈A，故A错误；
{0}⊆A错误，故B错误；
{0}⊊A，故C正确；
∅∈A，故D错误；
故选C
集合A={x∈N+|0≤x＜4}的真子集的个数为（ ）
正确答案
解析
解：因为集合A={x∈N+|0≤x＜4}，
所以集合A={1，2，3}
它的真子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
故选B．
已知集合{1，2}⊆M⊆{1，2，4，5}，则集合M的个数为（ ）
正确答案
解析
解：∵{1，2}⊆M⊆{1，2，4，5}，
∴M={1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，4，5}共4个．
故选：C．
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