- 选修部分
- 共638题
选修4-1： 几何证明选讲．
如图所示，已知
27.求证：
28.若
正确答案
见解析
解析
∵
考查方向
解题思路
先证明
易错点
找不准三角形相似或全等的条件
正确答案
PA=
解析
∵
由27题可知：
考查方向
解题思路
先综合题中条件及27中结论，解出EP=
易错点
找不准三角形相似或全等的条件
10．如图，在
正确答案
1
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
22．如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：BD平分∠CBE;
（Ⅱ）求证：
正确答案
见解析
解析
证明：
（I）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB，又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，所以∠DBE=∠DBC，即BD平分∠CBE.
（Ⅱ）由（I）可知BE=BH，所以
所以
考查方向
解题思路
利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化;利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB;利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题.
易错点
辅助线的作法，相似条件找不准
知识点
22．选修4－1：几何证明选讲
如图，已知：
（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．
正确答案
（Ⅰ）略
（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）证明：因为AB是直径，
所以∠ACB＝90°
又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB
（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
可证得：
且AB＝BG
由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……②
由①、②得：FG2-2FG-3=0
解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）
所以AB＝BG＝
所以⊙O半径为
考查方向
解题思路
第一问：由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB
第二问：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，继而证得：
易错点
1、第一问想到弦切角定理，进而向证明CF与圆相切，虽然可以证明，但是，但是过程稍烦一些。
2、第二问没有注意题中的已知条件，而运用
知识点
13．如图，
正确答案
3
解析
由题意可得，圆的半径为2，
设PT与AB交于点M,因为角BTC=120度，
所以角COB等于角BTM等于60度。
角BMT等于30度，
所以可知，
因为
所以
所以
由切割线定理可知
考查方向
解题思路
先求出MC的值，然后利用切割线定理求PQ和PB的乘积
易错点
相关性质混淆
知识点
22． 如图，在直角
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）略
（Ⅱ）
解析
试题分析：本题是有关直线与圆的问题，难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。
（Ⅰ）
连结
因为
因为
所以
所以
（Ⅱ）由已知
所以
因为
因为
所以
考查方向
解题思路
本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。解题步骤如下：
（Ⅰ）利用四点共圆的判定定理，证明
（Ⅱ）利用切线性质和勾股定理及第一问的结论，求出
易错点
第二问计算中，不易想到利用第一问
知识点
22.已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．
（Ⅰ）求证：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．
正确答案
（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）EF=2
解析
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；
（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：
x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2
考查方向
解题思路
本题考查了圆内接四边形的性质、圆的切割线定理及
（Ⅰ）主要用三角形相似进行转化
（Ⅱ）要用切割线定理进行转化得结果。
易错点
圆的切割线定理及
知识点
7. 如图，
正确答案
解析
由题可知，CD•DT=AD•DB，解得圆的半径CT=2r=11，由PT2=PB•PA，解得PB=14.
A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。
考查方向
解题思路
利用切割线定理求解即可.
易错点
本题易在利用切割线定理和割线定理时发生错误。
知识点
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 。
正确答案
解析
略
知识点
选修41：几何证明选讲
如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
正确答案
(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，
故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
解析
(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，
故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
知识点
21．（选修4—1：几何证明选讲）
如图，
正确答案
解析
试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，通过三角形相似得到角相等，再由全等三角形的性质得到边相等，进而求出BD.
因为
又因为
又
又
所以
又
考查方向
解题思路
判定三角形相似和全等的方法要牢记，要借助图形判断，要结合题意找出需要的条件。
易错点
找不到角相等的转化，从而在三角形相似和三角形全等中造成条件不足。
知识点
选修4—1：几何证明选讲
如图，正方形
28.求证：
29．求
正确答案
见解析．
解析
试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下： 由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，所以EA为圆D的切线．得
考查方向
解题思路
直接利用相交弦定理即可证明．
易错点
不熟悉射影定理导致本题失分。
正确答案
解析
试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：连结
考查方向
解题思路
利用相射影定理求
易错点
不熟悉射影定理导致本题失分。
选修4—1；几何证明选讲
如图所示，圆
29.求证：△
30.如果
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线，三角形相似条件找不准
正确答案
见解析
解析
所以，
考查方向
解题思路
利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线，三角形相似条件找不准
如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，
直线
27. 求证：
28.求圆
正确答案
（1）略；
解析
(I)如图22-1，由切割线定理得
考查方向
解题思路
先根据切割线定理求出
易错点
不会根据切割线定理求解；
正确答案
（2）4
解析
(2）：如图22-2连结
设
考查方向
解题思路
先证明
易错点
不会做辅助线导致无法求出正确答案。
22. 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C
(1)证明：DB = DC;(2)设圆的半径为1，BC=
正确答案
（2）
解析
（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，
∴BG=
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径=
考查方向
本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力了与圆有关的比例线段
解题思路
（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=
易错点
弦切角定理不会灵活应用
知识点
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