- 用样本估计总体
- 共1456题
已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2-n，现从前项中抽掉某一项ak，余下20项的平均数为40，则k=______．
正确答案
由Sn=2n2-n得a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-1，显然满足n=1，
∴an=4n-3，
∴数列{an}是公差为4的递增等差数列．
∵抽取的是第k项，则S21-ak=40（n-1），由于n=21，
故ak=（2×212-21）-40（21-1）=61．
由ak=4k-3=61⇒k=16．
故抽取的是第16项．
故答案为：16．
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
（Ⅱ）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为
（Ⅲ）若将预赛成绩中的频率视为概率，记“甲在考试中的成绩不低于80分”为事件A，其概率为P（A）；记“乙在考试中的成绩不低于80分”为事件B，其概率为P（B），则P（A）+P（B）=P（A+B）成立吗？试说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）作出如图所示茎叶图，易得乙组数据的中位数为84，
（Ⅱ）派甲参赛比较合适，
理由如下：
∴
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
（Ⅲ）不成立．
由已知可得
而0＜P（A+B）＜1，
所以P（A）+P（B）=P（A+B）不成立；
或此式成立的条件是A和B互斥，而此问题中的A和B是不互斥的。
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，
故
（Ⅱ）平均分为
（Ⅲ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60=9人；
[70，80）分数段的人数为0.3×60=18人；
∵在[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；
设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…，（c，d），共15种，
则事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），共9种，
∴
在“家电下乡”活动中，某品牌家电厂家从某地购买该品牌家电的用户中随机抽取20名用户进行满意度调查。设满意度最低为0，最高为10，抽查结果统计如下：
（1）完成下列频率分布直方图：
（2）估计这20名用户满意度的中位数（写出计算过程）；
（3）设第四组（即满意度在区间[6，8）内）的5名用户的满意度数据分别为：6.5，7，7.5，7.5，7.9，先从中任取两名不同用户的满意度数据x、y，求|x-y|＜1的概率。
正确答案
解：（1）频率分布直方图如下图：
（2）各组频率依次为：
∵
而
∴中位数在区间
解之得
即中位数为7.2。
（3）基本事件共有10个，即
其中满足
从而
某学校为了了解学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n名同学进行调查，下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表：
（1）求n的值，若a=20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[4，5）的中点值是4.5）作为代表，若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a，b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率。
正确答案
解：（1）由频率分布表可得
补全数据如下表
频率分布直方图如下：
（2）由题意，得
解得a=15，b=15
设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A
则
答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38。
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ。
正确答案
解：（Ⅰ）茎叶图如下：
学生乙成绩的中位数为84；
（Ⅱ）派甲参加比较合适，理由如下：
∵
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适。
（Ⅲ）记“甲在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
且ξ服从
∴
∴ξ的分布列为
∴
在“家电下乡”活动中，某品牌家电厂家从某地购买该品牌家电的用户中随机抽取20名用户进行满意度调查.设满意度最低为0，最高为10，抽查结果统计如下：
（1）补全下列频率分布直方图：
（2）估计这次“家电下乡”活动中，该品牌用户满意度超过6的概率；
（3）估算这20名用户满意度的中位数（写出计算过程）；
（4）设第四组（即满意度在区间[6，8)内）的5名用户的满意度数据分别为：6.5、7、7.5、7.5、7.9，从中任取两名不同用户的满意度数据x、y，求|x-y|＜1的概率。
正确答案
解：（1）频率分布直方图如下图：
（2）满意度超过6的用户数为5+8=13，样本容量为20，故满意度超过6的频率为
因此估计这次活动中该品牌用户满意度超过6的概率为
（3）各组频率依次为：
∵
而
∴中位数在区间[6，8)内，设为x，
则有：
解之得x=7.2，
即中位数为7.2；
（4）基本事件共有10个，
其中满足|x-y|＜1的有7个（除
从而|x-y|＜1的概率为
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的平均分。
正确答案
解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率： f4=1-(0.025+0.15×2+0.01+0.005)×10=0.3，
直方图"略"。
（2）利用组中值估算抽样学生的平均分（fi表示各矩形面积）
45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05
=71，
估计这次考试的平均分是71分。
甲乙两位同学在5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，比较甲乙成绩谁更稳定，并说明理由．
正确答案
乙的成绩更稳定，理由如下：
x甲=
x乙=
S甲2=
S乙2=
∵S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩更稳定．
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格。把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30；第6小组的频数是7 ，
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
(3)若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率。
正确答案
解：(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14，
∴此次测试总人数为
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人)；
(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，
前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内；
(3)设成绩优秀的9人分别为
则选出的2人所有可能的情况为：
其中a、b到少有1人入选的情况有15种，
∴a、b两人至少有1人入选的概率为
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