圆的切线的性质及判定定理
共102题

圆的切线的性质及判定定理
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题型：简答题

简答题

选修4-1；几何证明选讲．

如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，点E为BC的中点，连接DE、AE，AE交⊙O于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为2，求AD•AC的值．

正确答案

证明：（1）连接OD，OE

∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=

∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE

∵OA=OD

∴∠CAB=∠ADO

则∠DOE=∠EOB

EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共边．

∴△ODE≌△OBE

∴EDO=∠EBO=90°

∴DE是⊙O的切线 …（5分）

（2）连接BD，显然BD是Rt△ABC斜边上的高．

可得△ABD∽△ACB所以，即AB2=AD•AC

所以AD•AC=4 …（10分）

解析

证明：（1）连接OD，OE

∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=

∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE

∵OA=OD

∴∠CAB=∠ADO

则∠DOE=∠EOB

EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共边．

∴△ODE≌△OBE

∴EDO=∠EBO=90°

∴DE是⊙O的切线 …（5分）

（2）连接BD，显然BD是Rt△ABC斜边上的高．

可得△ABD∽△ACB所以，即AB2=AD•AC

所以AD•AC=4 …（10分）

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．

（Ⅰ）求证：A，D，F，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠C=50°，求∠DEF的度数．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，

∴DE⊥AE，

∵AF⊥DF，

∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；

（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴=90°+．

∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，

∵∠ADB=90°+∠DAF，

∴∠DAF=25°，

∵A，D，F，E四点共圆，

∴∠DEF=∠DAF=25°．

解析

（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，

∴DE⊥AE，

∵AF⊥DF，

∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；

（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴=90°+．

∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，

∵∠ADB=90°+∠DAF，

∴∠DAF=25°，

∵A，D，F，E四点共圆，

∴∠DEF=∠DAF=25°．

题型：填空题

填空题

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=CD，AB=AC，延长BC到点D，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=40°，则∠ABE的大小为______．

正确答案

40°

解析

解：∵AC=CD，∠D=40°，

∴∠CAD=40°，∠ACB=80°．

∴∠CBE=40°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=80°，

∴∠ABE=40°．

故答案为：40°

题型：简答题

简答题

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为______．

正确答案

解：∵AC=CD，∠D=35°，

∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．

∴∠CBE=35°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=70°，

∴∠ABE=35°．

故答案为：35°．

解析

解：∵AC=CD，∠D=35°，

∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．

∴∠CBE=35°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=70°，

∴∠ABE=35°．

故答案为：35°．

题型：填空题

填空题

如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为______．

正确答案

解析

解：连接OB，OA交BC于点D，

AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．

且∠BAC=60°，BC=6，

则：∠ABO=90°，∠AOB=60°，且BD=3，

设：OD=x，则：BO=2x，

利用勾股定理得：x2+9=4x2

解得：x=

所以：圆的半径为2．

故答案为：2

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）若AB=4AD，求∠BAD的大小．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∴∠B+∠CAB=90°

∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，

∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，

∴∠ACD=∠B

∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴，由此得AC2=AB•AD．

∵AB=4AD，∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD，于是∠DAC=60°，

故∠BAD的大小为120°．

解析

证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∴∠B+∠CAB=90°

∵AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC=90°，

∵AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，

∴∠ACD=∠B

∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠BAD；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，∴，由此得AC2=AB•AD．

∵AB=4AD，∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD，于是∠DAC=60°，

故∠BAD的大小为120°．

题型：填空题

填空题

如图，PA，PB切⊙O于 A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于 D，若∠DBC=22°，则∠APB═______．

正确答案

44°

解析

解：连接AB

根据弦切角有∠DBC=∠DAB=22°

∠PAC=∠DBA

因为垂直∠DCB=90°

根据外角∠ADB=∠DBC+∠DCB=112°

∵∠DBC=∠DAB

∴∠DBA=180°-∠ADB-∠DAB=46°

∴∠PAC=∠DBA=46°

∴∠P=180°-∠PAC-∠PCA=44°

故答案为：44°

题型：单选题

单选题

如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE=40°，则∠A的度数为（　　）

A30°

B40°

C50°

D60°

正确答案

解析

解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE=40°，

∴∠A=∠CBE=40°．

故选B．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，直线MN切

⊙O于D，∠MDA=45°，则∠DCB=______．

正确答案

135°

解析

解：连接BD，

∵AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA=45°，

∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，

∴∠DCB=∠ABD+∠ADB=45°+90°=135°．

故答案为：135°．

题型：填空题

填空题

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠BCO=______．

正确答案

解析

解：∵AB为直径，BC为圆的切线

且AD=DC

∴△ABC为等腰直角三角形，

设圆的半径为1，则OB=1，BC=2，0C=，

∴sin∠BC0=，

故答案为：．

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