热门试卷

解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，

又D是BC的中点，所以DE=BD．

又OE=OB，OD=OD，

所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD=∠OED=90°．

故D，E，O，B四点共圆．                         …（5分）

（2）如图，延长DO交圆于点H，

∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，

∴DE2=DM•（AC）+DM，即2DE2=DM•AC+DM•AB，

∵DE==DC，∴2DC2=DM•AC+DM•AB．…（10分）

（1）证明：连接OA，OE，则

因为PA是圆O的切线，A为切点，

所以OA⊥PA，

因为过点P，A，D的圆与圆O交于点E，

所以OE⊥PE，

所以PE是圆O的切线；

（2）解：因为PA=，PB=1，

所以由切割线定理，可得3=1×PC，

所以PC=3，

所以BC=2，

所以圆O的半径r的最小值为1．

（Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，

∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB•PC=3R2，

∴PA=R．

连接OA，PA⊥OA，

∴∠POA=60°．∠AOC=120°．

∴AC=R，∴PA=AC．

（Ⅱ） 解：连接OD，CD，

∵D为的中点，

∴，

而OC=OD，∠PCD=60°，

∵PB=1，

∴PC=3，CD=1，

由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC•CDcos60°==7，

∴PD=，

再由切割线定理得，PA2=PE•PD，

∴．

∴PE=．

（1）证明：连接AE，BC，

∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角，

∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），

∴△AME∽△CMB，

∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；

（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，

∴DE⊥EC，

∵DC=8，DE=，

∴EC==7，

设EM=x，由于M为OB的中点，

∴BM=2，AM=6，

∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），

整理得：x2-7x+12=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵EM＞MC，∴EM=4，

∵OE=EM=4，

∴△OEM为等腰三角形，

过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1，

∴EF==，

∴sin∠EOB=．

（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，

又∵∠CGE=∠DCF，

∴∠DCF=∠GAC．

∵GA=GF，

∴∠GAF=∠AFG．

又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，

∴∠CAF=∠D．

∴CA=CD．

（II）证明：连接CH，CB．

∵CA=CB，AB=BD．

∴CH⊥AD．

由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

∴CB2=BH•BA．

∵∠BCF=∠CAB=∠D，

∴△BCF∽△BDC．

∴，

∴BC2=BF•BD，

∴BH•BA=BF•BD．

（1）证明：∵AD是直径，

∴∠AGD=90°，

∵∠BCA=90°，

∴∠AGD=∠BCA，

∴B、C、D、G四点共圆

（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，

∴CP2=CD•CA，

∵∠CPO=90°，PH⊥AD，

∴CP2=CH•CO，

∵CH=，OH=，

∴CO=5，

∴CP2=CH•CO=16，

∴CD•CA=16．

解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，

又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，

因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；

（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，

又∵∠AEB=∠DEA，

∴△AEB∽△DEA，可得，得AB•AE=AD•BE=，

∵∠EAB=∠ADE=30°，

∴△ABE的面积S=AB•AEsin∠EAB=××=．