- 圆的切线的性质及判定定理
- 共102题
正确答案
4π
解析
所以，∠BCD=30°，
∠A=30°，
则∠BOC=60°，
根据60°的圆心角所对弦等于半径
因为BC=2
所以圆的半径为2
所以圆的面积为：4π
故答案为：4π
（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为______．
正确答案
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，
根据切割线定理得到DC2=DB•DA，
∵AB=5，CD=6，
∴36=DB（DB+5）
∴DB=4，
由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A
∴△DBC∽△DCA，
∴
∴AC=
故答案为：4.5
如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
正确答案
如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，
因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，
所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）
又因为∠ACB=90°，
得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，
从而∠ABE=30°，
于是AE=
如图，AB为平面直角坐标系xOy中单位圆O的直径，点D在第二象限内的圆弧上运动，CD与圆O相切，切点为D，且CD=AB．设∠DAB=θ，问当θ取何值时，四边形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
正确答案
连接BD，
∵AB为平面直角坐标系xOy中单位圆O的直径，点D在第二象限内的圆弧上运动
∴AD=2cosθ，BD=2sinθ（其中
在△BCD中，由弦切角定理得∠BDC=θ，又DC=AB=2，
∴△BCD面积为2sin2θ； …（4分）
又Rt△ABD的面积为2sinθ•cosθ．…（5分）
∴四边形ABCD的面积为S=2sinθ•cosθ+2sin2θ．…（6分）
因为S=sin2θ+（1-cos2θ） …（8分）
=
∴2θ-
所以当θ=
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．
正确答案
证明：（1）连接OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，
从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，
所以l是⊙O的切线．
（2）连接AP，
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，
∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，
即PB平分∠ABD．
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
如图：
已知圆上的弧
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE×CD．
正确答案
（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
（选做题）
如图圆O和圆O′相交于A，B两点，AC是O′圆的切线，AD 是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD。
正确答案
解：易证
所以
BD=8。
（选做题）如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E，
(1)求证：AE=AD；
(2)若AB=6，BC=4，求AE。
正确答案
（1）证明：∵BD ∥MN，
∴
又∵MN为圆的切线，
∴
∴∠DCN=∠CAD，
∴
∴
又
∴
∴AE=AD。
（2）解：
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=BC=4，
设AE=x，易证
又
所以
（选做题）
如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
证明：（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；
（Ⅱ）BC2=BE·CD。
正确答案
证明：（Ⅰ）因为
所以
又因为
所以
因为
所以
所以
故
（Ⅱ）
所以
又因为
所以
故
即
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