- 带电粒子在混合场中的运动
- 共247题
如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为q（q<0)的粒子从坐标原点O沿加xoy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A(a，0)点，求v1的大小；
（2）已知一粒子的初建度大小为v(v>v1)，为使该粒子能经过A(a，0)点，其入射角
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿x轴正向发射。研究表明：粒子在xoy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm 。
正确答案
见解析。
解析
（1）带电粒子以速率v在匀强磁场B中作匀逮圆周运动，半径为R，有 
当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有 
由②代入①式得 
（2）如图，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在
当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第l、2象限，有
由①④式解得 
（3）粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率晟大，用ym表示其y坐标，由动能定理， 
由题知，有 vm=kym ⑦
若E=0时，粒子以初速度v0沿y轴正方向入射，有 
v0=kR0 ⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得
知识点
图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为
（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。
（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为
（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。
正确答案
见解析
解析
（1）在粒子进入正交的电磁场做匀速直线运动，设粒子的速度为v，电场的场强为E0，根据平衡条件得
由①②化简得
粒子甲垂直边界EF进入磁场，又垂直边界EF穿出磁场，则轨迹圆心在EF上。粒子运动中经过EG，说明圆轨迹与EG相切，在如图的三角形中半径为
R=acos30°tan15° ④
tan15°=
联立④⑤化简得
在磁场中粒子所需向心力由洛伦磁力提供，根据牛顿第二定律得
联立③⑦化简得
（2）由于1点将EG边按1比3等分，根据三角形的性质说明此轨迹的弦与EG垂直，在如图的三角形中，有
同理
（3）最轻离子的质量是甲的一半，根据半径公式
比甲质量大的离子都从EG穿出磁场，期中甲运动中经过EG上的点最近，质量最大的乙穿出磁场的1位置是最远点，所以在EG上穿出磁场的粒子都在这两点之间。
知识点
某种加速器的理想模型如题15-1图所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压uab的变化图象如图15-2图所示，电压的最大值为U0、周期为T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为m0、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T0后恰能再次从a 孔进入电场加速。现该粒子的质量增加了
（1）若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
（2）现在利用一根长为L的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响)，使题15-1图中实线轨迹(圆心为O)上运动的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
（3）若将电压uab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？
正确答案
见解析。
解析
（1）质量为m0的粒子在磁场中作匀速圆周运动
则
当粒子的质量增加了
根据题15-2图可知，粒子第一次的加速电压
粒子第二次的加速电压
粒子射出时的动能
解得
（2）磁屏蔽管的位置如图所示
（3）在
可得，粒子在连续被加速的次数最多，且
粒子由静止开始被加速的时刻
最大动能 
知识点
如图甲，在x >0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m，带电量为q（q>0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。
（1）求该粒子运动到y=h时的速度大小v；
（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期
Ⅰ，求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s；
Ⅱ，当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay，并写出y-t的函数表达式。
正确答案
见解析。
解析
（1）由于洛仑兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理有
由①式解得 v = 
（2）Ⅰ，由图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离。设粒子恰好沿x轴方向匀速运动的速度大小为v1，则
qv1B = qE③
又 s = v1T④
式中T =
解得 s = 
Ⅱ，设粒子在y方向上的最大位移为ym（图丙曲线的最高处），对应的粒子运动速度大小为v2（沿x轴），因为粒子在y方向上的运动为简谐运动，因而在y = 0和y = ym处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，则
由动能定理有
又 Ay = 
由⑥⑦⑧式解得Ay =
可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t函数表达式为y =
知识点
如图所示，水平虚线X下方区域分布着方向水平、垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，整个空间存在匀强电场（图中未画出），质量为m，电荷量为＋q的小球P静止于虚线X上方A点，在某一瞬间受到方向竖直向下、大小为I的冲量作用而做匀速直线运动，在A点右下方的磁场中有定点O，长为l的绝缘轻绳一端固定于O点，另一端连接不带电的质量同为m的小球Q，自然下垂，保持轻绳伸直，向右拉起Q，直到绳与竖直方向有一小于5°的夹角，在P开始运动的同时自由释放Q，Q到达O点正下方W点时速率为v0。P、Q两小球在W点发生正碰，碰后电场、磁场消失，两小球粘在一起运动。P、Q两小球均视为质点，P小球的电荷量保持不变，绳不可伸长，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求匀强电场场强E的大小和P进入磁场时的速率v；
（2）若绳能承受的最大拉力为F，要使绳不断，F至少为多大？
（3）求A点距虚线X的距离s。
正确答案
见解析。
解析
（1）设小球P所受电场力为F1，则
F1＝qE
在整个空间重力和电场力平衡，有
F1＝mg
联立相关方程得
设小球P受到冲量后获得的速度为v，由动量定理得
I＝mv④
得
（2）设P、Q同向相碰后在W点的最大速度为vm，由动量守恒定律得
mv＋mv0＝（m＋m）vm
此刻轻绳的张力也为最大，由牛顿运动定律得
F－（m＋m）g＝
联立相关方程，得
（3）设P在X上方做匀速直线运动的时间为tP1，则
设P在X下方做匀速圆周运动的时间为tP2，则
设小球Q从开始运动到与P球反向相碰的运动时间为tQ，由单摆周期性，有
由题意，有tQ＝tP1＋tP2
联立相关方程，得
设小球Q从开始运动到与P球同向相碰的运动时间为tQ′，由单摆周期性，有
同理可得
知识点
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