热门试卷

见解析

证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,

∴MN2=PN2="NA·NB," ∴=,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.

∵MC="BC," ∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP.

(2)∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∴PM∥CD,

∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,

∵PM是圆O的切线,∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,

∴MC∥PD,

∴四边形PMCD是平行四边形.

（1）见解析   （2）5

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

（2）m="4," n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=(12-2)=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.

试题解析：(1)证明　因为XY是⊙O的切线，所以.

因为，所以，∴.                       2分

因为，所以.                                  4分

因为，又因为，

所以.                                           5分

(2)解　因为，，

所以，                                          7分      

所以， 即                             8分

因为，，

所以.所以.          10分

(1)结合三角形的边和角来证明全等同时得到线段的对应相等的证明。

(2) PM="PN" 成立，同样是借助于三角形的全等来证明。

(3) “四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”

试题分析：（1）证明：①如图2：

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P为BC边中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，        3分

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE∴PM="1" 2 ME，

∴在Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，     4分

∴PM=PN．

（2）解：成立，如图3．

证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，     6分

又∵P为BC中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM="1" 2 ME，

则Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，

∴PM=PN．     8分

（3）解：如图4，

四边形M′BCN′是矩形，

根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，   9分

得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．   10分

点评：解决该试题的关键是对于相似三角形的性质的熟练运用，属于基础题。

解：

（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC

又AB="AC " ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE.………5分

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,

∴∠OCH=600.

设圆半径为r,则r+r=2+,得r=2,外接圆的面积为4。…………10分

略

见解析

如图，连结AC，交EF于点G.

∵AD∥EF∥BC，∴，∴.

又EG∥BC，FG∥AD，∴，

∴EG＝·BC，GF＝·AD.

又EF＝EG＋GF，∴(m＋n)EF＝mBC＋nAD.

∴当m＝n＝1时，EF＝(BC＋AD)，即表示梯形的中位线．