热门试卷

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) EC=． 

（I）只需证明：设圆心为O，则证明即可.进一步可考虑证明OE//BC.

(II)可以利用切割线定理解决，先通过,求出半径长，再利用OE//BC，可得，求出EC的长.

(Ⅰ)取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． --------------------5分

(Ⅱ)设⊙O的半径为r，则在△AOE中，

，即，解得,

∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴EC=．   ------------------------------10分

＝，∴DE＝DF ∴DF2="DB·DA," ∴DE2= DB·DA　……5分

　（2）∵DE＝DF，又∵DE＝1，DE＝2AE

∴DF2= DB·DA＝(DE－BE)(DE+AE)＝(DF－1)(DF＋　……………………10分

略

(1)证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以正三角形为几何背景，考查四点共圆问题以及相似三角形问题，考查学生的转化与化归的能力.第一问，利用已知条件中边的比例关系可得出结论，再利用三角形相似，得出，所以，所以可证四点共圆；第二问，根据所给正三角形的边长为2，利用已知的比例关系，得出各个小边的长度，从而得出为正三角形，所以得出，所以是所在圆的圆心，而是半径，即为.

试题解析：(Ⅰ)证明:∵,   ∴,

∵在正中, , ∴,

又∵,, ∴, ∴,

即,所以四点共圆.               5分

(Ⅱ)解:如图,

取的中点,连接,则,

∵, ∴,

∵,, ∴为正三角形,

∴,即,

所以点是外接圆的圆心,且圆的半径为.

由于四点共圆,即四点共圆,其半径为.           10分