向量数乘运算及几何意义
共151题

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题型：填空题

填空题

已知M（-2，7）、N（10，-2），点P是线段MN上的点，且=-2，则P点的坐标为______．

正确答案

设P（x，y），则=(10-x，-2-y)，=(-2-x，7-y)，

∵=-2，

∴，

∴

∴P点的坐标为（2，4）．

故答案为：（2，4）

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，

1=(2，1)、

2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若=

1+（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是______．

正确答案

因为

1=(2，1)、

2=(2，-1)是渐进线方向向量，

所以双曲线渐近线方程为y=±x，

又c=，∴a=2，b=1

双曲线方程为-y2=1，=

1+=（2a+2b，a-b），

∴-(a-b)2=1，化简得4ab=1．

故答案为4ab=1．

题型：简答题

简答题

已知F1（-2，0），F2（2，0）两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2| =|F1F2|．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且=，求直线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =|F1F2| =6＞|F1F2|=4，

故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为+=1．

（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，

则有

将（3）、（4）代入（2）得+=1，整理为+-y1+=0．

将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±，

故所求的直线方程为y=±x+3．

方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．

由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，①x1x2=．②

因为=，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．

将x2=2x1代入①、②，得x1=，x12=，

消去x1得()2=，

解得k2=，k=±．

所以直线l的方程为y=±x+3．

题型：填空题

填空题

已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若++=λ，则实数λ=______．

正确答案

由于G是三角形ABC的重心，则有

++=，

-+-+-=

故++=3

又由已知++=λ

故可得λ=3

故答案为：3

题型：填空题

填空题

在△ABC中，已知A（2，3），B（8，-4），点G（2，-1）在中线AD上，且||=2||，则C的坐标为______．

正确答案

设C（x，y），则D（，），

再由 =2，得（0，-4）=2（，），

∴4+x=0，-2+y=-4，即C（-4，-2）

故答案为：（-4，-2）．

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