- 等比数列的通项公式
- 共2560题
在等比数列{an}中，an＞0，若a1a5=16，a4=8，则a5=______．
正确答案
16
解析
解：设等比数列{an}的公比为q．
∵a1a5=16，a4=8，∴
∴
故答案为：16．
在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为______．
正确答案
-1
解析
解：∵等比数列{an}中，Sn=3n+b，
∴a1=31+b=3+b，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=18，
∴（3+b）•18=36，∴b=-1．
故答案为：-1．
已知等比数列{an}的首项a1、公比q是关于x的方程（t-1）x2+2x+（2t-1）=0的实数解，若数列{an}有且只有一个，则实数t的取值集合为______．
正确答案
解析
解：∵等比数列{an}的首项a1、公比q是关于x的方程（t-1）x2+2x+（2t-1）=0的实数解，数列{an}有且只有一个，
∴t-1=0，或△=4-4（t-1）（2t-1）=0，解得t=0，t=
经过验证满足条件．
∴实数t的取值集合为
故答案为：
已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log2an+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
正确答案
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，依题意有2（a3+2）=a2+a4，（1）
又a2+a3+a4=28，将（1）代入得a3=8．所以a2+a4=20．
于是有
解得
又{an}是递增的，故a1=2，q=2．
所以an=2n．
（Ⅱ）bn=log22n+1=n+1．
故
解析
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，依题意有2（a3+2）=a2+a4，（1）
又a2+a3+a4=28，将（1）代入得a3=8．所以a2+a4=20．
于是有
解得
又{an}是递增的，故a1=2，q=2．
所以an=2n．
（Ⅱ）bn=log22n+1=n+1．
故
已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；
（3）当{bn}为等差数列时，对任意正整数k，在ak与ak+1之间插入2共bk个，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tn=2cm+1的所有正整数m的值．
正确答案
解：（1）因为6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，
解得q2=4或q2=2（舍），则q=2
又a1=2，所以an=2n
（2）由2n2-（t+bn）n+
所以b1=2t-4，b2=16-4t，b3=12-2t，
则由b1+b3=2b2，得t=3
而当t=3时，bn=2n，由bn+1-bn=2（常数）知此时数列{bn}为等差数列；
（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
即
也就是2k=k2+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．
解析
解：（1）因为6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，
解得q2=4或q2=2（舍），则q=2
又a1=2，所以an=2n
（2）由2n2-（t+bn）n+
所以b1=2t-4，b2=16-4t，b3=12-2t，
则由b1+b3=2b2，得t=3
而当t=3时，bn=2n，由bn+1-bn=2（常数）知此时数列{bn}为等差数列；
（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
即
也就是2k=k2+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．
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