热门试卷

（I）解：由得，猜想：

下面用数学归纳法证明猜想：成立．

（ⅰ）当n=1时，，猜想成立；

（ⅱ）假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即；

那么当n=k+1时，，从而n=k+1时猜想成立．

综合（ⅰ），（ⅱ）知：猜想成立．即数列的通项公式为．

（II）证明：当x＞0时，构造函数g（x）=ln（1+x）-x，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调减

∴g（x）＜g（0），∴ln（1+x）＜x；

所以令得，即，

∴，于是，

从而 

∴

（III）证明：由柯西不等式得：

所以要证

即证 ，也就是需证：，

即证：；

因为函数的导函数

当x＞0时，f′（x）＞0，所以当x＞0时，，

取得

∴，所以 ．

∴

证明：1-+-+…+-=1++++…++-（1+++…+）

=+++…+，

当n=2时，+=＞，即有1-+-+…+-＞；

由柯西不等式可得，

+++…+＜，

由＜-+-+…+-=-=，

即有＜=．

故1-+-+…+-＜．

则有原不等式成立．

解：由柯西不等式，f（x）=2+=2+•

≤•=

故当且仅当2=•，即x=-时，f（x）取得最大值为．