- 柯西不等式的几何意义
- 共100题
选修4-5不等式选讲
（1）已知x，y，z∈R，且x2+y2+z2=1，求2x+3y+4z的最小值；
（2）解关于x的不等式：|2x+1|+|x+2|＞5．
正确答案
解析
解：（1）因为已知x2+y2+z2=1根据柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：
即（2x+3y+4z）2≤（x2+y2+z2）（22+32+42）≤1×29=29
故2x+3y+4z≤
则2x+3y+4z的最大值是 
故答案为：
（2）解：f（x）=|2x+1|+|x+2|=
当x＜-2时，由-3x-3＞5 可得 x＜-
当-2≤x≤-
当 x＞-
综上可得 x＜-
故不等式的解集为：{x|x＜-
选修4-5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
正确答案
解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，
∴（
即
当且仅当a=b=c=
∴当a=b=c=
解析
解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，
∴（
即
当且仅当a=b=c=
∴当a=b=c=
已知x，y，z∈R+，且x+y+z=1．
（1）若
（2）求证：
正确答案
（1）解：柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（
∵
∴x+1=y+1=z+1，
∴x=y=z=
（2）证明：∵（1+x+1+y+1+z）（
∴
∴
∴
解析
（1）解：柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（
∵
∴x+1=y+1=z+1，
∴x=y=z=
（2）证明：∵（1+x+1+y+1+z）（
∴
∴
∴
设x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求
正确答案
解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即
∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；
x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3
综上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（
∴
∴u
解析
解：（I）当z=1时，∵x+2y+3z=1，∴x+2y=-2，即
∴|x+y|+|y+1|＞2可化简|x-2|+|x|＞4，
∴x＜0时，-x+2-x＞4，∴x＜-1；
0≤x≤2时，-x+2+x＞4不成立；
x＞2时，x-2+x＞4，∴x＞3
综上知，x＜-1或x＞3；
（II）∵（
∴
∴u
不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，求x2+y2+z2的最小值．
正确答案
解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），
即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）
即16≤14（x2+y2+z2）．
所以
解析
解：由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），
即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）
即16≤14（x2+y2+z2）．
所以
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