- 柯西不等式的几何意义
- 共100题
已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）
（Ⅰ）求x2+y2+z2的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤
正确答案
解析
解：（Ⅰ）∵（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2），且|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）．
∴x2+y2+z2
即x2+y2+z2的最小值为
（Ⅱ）∵x2+y2+z2的最小值为
∴|a+2|≤
∴-4≤a+2≤4，
解得-6≤a≤2，
即a的取值范围为[-6，2]．
已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求
正确答案
解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（
即
当且仅当
所以
解析
解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（
即
当且仅当
所以
已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]2+y2+z2=9，试求x+2y+2z的最小值．
正确答案
解析
解：（Ⅰ）不等式f（x-1）＞2即|x-1|＞2．
解得 x＜-1，或 x＞3．
故原不等式的解集为 {x|x＜-1，或 x＞3}．
（II）[f（x）]2+y2+z2=9，即x2+y2+z2=9，
由于（x2+y2+z2）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）2，
∴9×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）2，
∴-9≤x+2y+2z≤9．
则x+2y+2z的最小值为：-9．
选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：（
正确答案
证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，设
（x+y+z）（
当且仅当x=y=z时等号成立．
即（
当且仅当
解析
证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，设
（x+y+z）（
当且仅当x=y=z时等号成立．
即（
当且仅当
（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求
正确答案
解：由柯西不等式可得
（
∴
∴
故最大值为3
解析
解：由柯西不等式可得
（
∴
∴
故最大值为3
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