柯西不等式的几何意义
共100题

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柯西不等式的几何意义
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题型：填空题

填空题

已知x，y，z为正实数，且，求x+4y+9z的最小值______此时 x=______，y=______，z=______．

正确答案

解析

解：∵x，y，z为正实数，++=1，

∴x+4y+9z=（x+4y+9z）•（++）

=1+4+9+（+）+（+）+（+），

∵x，y，z为正实数，

∴+≥4（当且仅当x=2y时取等号）；

+≥6（当且仅当x=3z时取等号）；

+≥12（当且仅当2y=3z时取等号）；

∴1+4+9+（+）+（+）+（+）≥36（当且仅当x=2y=3z时取等号），

即x+4y+9z≥36．

由++=1，得：++=1，

∴x=6，y=3，z=2．

故答案为：36；6，3，2．

题型：单选题

单选题

设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（　　）

正确答案

解析

解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，

当且仅当时等号成立

∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，

∴等号成立

∴

∴=

故选C．

题型：简答题

简答题

已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．

正确答案

解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2

则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．

即：（x-2y-3z）2≤14

即：x-2y-3z的最大值为．

故答案为．

解析

解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2

则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．

即：（x-2y-3z）2≤14

即：x-2y-3z的最大值为．

故答案为．

题型：简答题

简答题

选修4-5：不等式证明选讲

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．

正确答案

解：由柯西不等式得

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2…（4分）

将条件代入可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2…（6分）

当且仅当时等号成立，

可知时amax=2，时，amin=1，

所以a的取值范围是[1，2]．…（10分）

解析

解：由柯西不等式得

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2…（4分）

将条件代入可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2…（6分）

当且仅当时等号成立，

可知时amax=2，时，amin=1，

所以a的取值范围是[1，2]．…（10分）

题型：简答题

简答题

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明

（1）sin2α+sin2β+sin2γ≥；

（2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥．

正确答案

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，

因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．

（2）由恒等式tan2x=和若a，b，c＞0，则≥，

得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．

于是=≥=，

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．

解析

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，

因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．

（2）由恒等式tan2x=和若a，b，c＞0，则≥，

得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．

于是=≥=，

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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