- 柯西不等式的几何意义
- 共100题
对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则
证明如下：
即：
由柯西不等式，得
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则______”．
正确答案
AA1+BB1+CC1+DD1≥
解析
解：类比证明方法可得：
∴
∴
由柯西不等式，得
∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
故答案为：AA1+BB1+CC1+DD1≥
设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则
正确答案
解析
解：由柯西不等式得（1+3+5）2≤（a+b+c）（
∵a+b+c=12，
∴（1+3+5）2≤12（
∴
当且仅当
则
故答案为：
不等式选讲：
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求实数m的取值范围．
正确答案
解析
解：（Ⅰ）证明：由柯西不等式得[a2+
即 
（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，
∴2m2+3m-5≤0，∴-
又 
综上可得，-
已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是（ ）
正确答案
解析
解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，
∴（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2=5（x2+y2+z2）-4（xy+yz+xz）=20-2[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]=28-2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z=0时（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是28．
故选C．
若x，y，z均大于零，且x+3y+4z=6，则x2y3z的最大值为______．
正确答案
1
解析
解：∵x+3y+4z=6，
∴6=x+3y+4z=
∴x2y3z≤1，
∴x2y3z的最大值为1．
故答案为：1．
扫码查看完整答案与解析