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题型:简答题
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简答题

已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1,求2a+b+2c的最大值.

正确答案

因为已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1根据柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2

故有(a2+b2+c2)(22+1+22)≥(2a+b+2c)2

故(2a+b+2c)2≤9,即2a+b+2c≤3

即2a+b+2c的最大值为3.

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题型:简答题
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简答题

若ai>0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,证明:a12+a22+…+an2. (n≥2,n∈N)

正确答案

由柯西不等式(a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1)×(++…+)

≥(a1+a2+…+an2=1.

即2(++…+)≥(a1+a2+…+an2=1.

(++…+)≥

令a1=a2=…=a1=,得a12+a22+…+an2. (n≥2,n∈N).

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题型:简答题
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简答题

(1)选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=,属于特征值1的一个特征向量为=,求矩阵A.

(2)选修4-4:坐标与参数方程

以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的极坐标方程为psin(θ-)=6,圆C的参数方程为,(θ为参数),求直线l被圆C截得的弦长.

(3)选修4-5:不等式选讲

已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值.

正确答案

(1)依题意得,即

所以解得∴A=

(2)由ρsin(θ-)=ρ(sinθ-cosθ)=6,∴y-x=12

将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=10圆心为C(0,0),半径为10.

∴点C到直线的距离为d==6,

直线l被圆截得的弦长为2=16

(3)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由条件可得,5-a2≥(3-a)2

解得,1≤a≤2,代入b=1,c=,d=时,amax=2;b=1,c=,d=时,amin=1

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题型:填空题
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填空题

(2013•湖北)设x,y,z∈R,且满足:,则x+y+z= _________ 

正确答案

根据柯西不等式,得

(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2

当且仅当时,上式的等号成立

∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,

结合,可得x+2y+3z恰好取到最大值

=,可得x=,y=,z=

因此,x+y+z=++=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

(1)a、b为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+,求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2

(2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值.

正确答案

(1)∵

(∵a+b=1).

(2)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2

由条件可得,5-a2≥(3-a)2

解得,1≤a≤2当且仅当==时等号成立,

代入b=1,c=,d=时,

amax=2b=1,c=,d=时amin=1.

百度题库 > 高考 > 数学 > 柯西不等式的几何意义

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