柯西不等式的几何意义
共100题

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柯西不等式的几何意义
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题型：简答题

简答题

已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1，求2a+b+2c的最大值．

正确答案

因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2

故有（a2+b2+c2）（22+1+22）≥（2a+b+2c）2

故（2a+b+2c）2≤9，即2a+b+2c≤3

即2a+b+2c的最大值为3．

题型：简答题

简答题

若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥．（n≥2，n∈N）

正确答案

由柯西不等式（a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1）×(++…+)

≥（a1+a2+…+an）2=1．

即2(++…+)≥（a1+a2+…+an）2=1．

(++…+)≥，

令a1=a2=…=a1=，得a12+a22+…+an2≥．（n≥2，n∈N）．

题型：简答题

简答题

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=，求矩阵A．

（2）选修4-4：坐标与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为psin（θ-）=6，圆C的参数方程为，（θ为参数），求直线l被圆C截得的弦长．

（3）选修4-5：不等式选讲

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值．

正确答案

（1）依题意得，即

所以解得∴A=

（2）由ρsin（θ-）=ρ（sinθ-cosθ）=6，∴y-x=12

将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=10圆心为C（0，0），半径为10．

∴点C到直线的距离为d==6，

直线l被圆截得的弦长为2=16

（3）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2，由条件可得，5-a2≥（3-a）2

解得，1≤a≤2，代入b=1，c=，d=时，amax=2；b=1，c=，d=时，amin=1

题型：填空题

填空题

（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=　_________　．

正确答案

根据柯西不等式，得

（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）

当且仅当时，上式的等号成立

∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，

结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值

∴=，可得x=，y=，z=

因此，x+y+z=++=

故答案为：

题型：简答题

简答题

（1）a、b为非负数，a+b=1，x1，x2∈R+，求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2；

（2）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值．

正确答案

（1）∵

（∵a+b=1）．

（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2；

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2

由条件可得，5-a2≥（3-a）2；

解得，1≤a≤2当且仅当==时等号成立，

代入b=1，c=，d=时，

amax=2b=1，c=，d=时amin=1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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