- 柯西不等式的几何意义
- 共100题
已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1,求2a+b+2c的最大值.
正确答案
因为已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=1根据柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2
故有(a2+b2+c2)(22+1+22)≥(2a+b+2c)2
故(2a+b+2c)2≤9,即2a+b+2c≤3
即2a+b+2c的最大值为3.
若ai>0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,证明:a12+a22+…+an2≥. (n≥2,n∈N)
正确答案
由柯西不等式(a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1)×(+
+…+
)
≥(a1+a2+…+an)2=1.
即2(+
+…+
)≥(a1+a2+…+an)2=1.
(+
+…+
)≥
,
令a1=a2=…=a1=,得a12+a22+…+an2≥
. (n≥2,n∈N).
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
=
,属于特征值1的一个特征向量为
=
,求矩阵A.
(2)选修4-4:坐标与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的极坐标方程为psin(θ-)=6,圆C的参数方程为
,(θ为参数),求直线l被圆C截得的弦长.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值.
正确答案
(1)依题意得,即
所以解得
∴A=
(2)由ρsin(θ-)=ρ(
sinθ-
cosθ)=6,∴y-
x=12
将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=10圆心为C(0,0),半径为10.
∴点C到直线的距离为d==6,
直线l被圆截得的弦长为2=16
(3)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(+
+
)≥(b+c+d)2
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由条件可得,5-a2≥(3-a)2
解得,1≤a≤2,代入b=1,c=,d=
时,amax=2;b=1,c=
,d=
时,amin=1
(2013•湖北)设x,y,z∈R,且满足:,则x+y+z= _________ .
正确答案
根据柯西不等式,得
(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)
当且仅当时,上式的等号成立
∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,
结合,可得x+2y+3z恰好取到最大值
∴=
,可得x=
,y=
,z=
因此,x+y+z=+
+
=
故答案为:
(1)a、b为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+,求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2;
(2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值.
正确答案
(1)∵
(∵a+b=1).
(2)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(+
+
)≥(b+c+d)2;
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2
由条件可得,5-a2≥(3-a)2;
解得,1≤a≤2当且仅当=
=
时等号成立,
代入b=1,c=,d=
时,
amax=2b=1,c=,d=
时amin=1.
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