柯西不等式的几何意义
共100题

· 柯西不等式的几何意义

柯西不等式的几何意义
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题型：填空题

填空题

若存在实数使成立，求常数的取值范围 .

正确答案

试题分析：由柯西不等式，，即，又知为非负数，所以，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，，所以常数的取值范围为.

题型：简答题

简答题

不等式选讲。

已知均为正实数，且.求的最大值.

正确答案

解：由柯西不等式得

…

当且仅当a=b=c=时等号成立

故的最大值为.…

略

题型：简答题

简答题

（选修4—5：不等式选讲）

求函数最大值.

正确答案

解：因为≤ 6分

∴ ≤ 8分，

当且仅当时取“”号，

即当时， 10分

题型：填空题

填空题

设实数x，y，z均大于零，且，则的最小值是．

正确答案

试题分析：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）

故x2+y2+z2≥，当且仅当，即：x2+y2+z2的最小值为．

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.

正确答案

的最大值为.

试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，

试题解析：由题意知，

令，，则当，恒成立，开口向上，

①当时，，不满足，恒成立，

②当时，则必有（1）

当对称轴时，即，也即时，有，

则，，则，当，时，.

当对称轴时，即，也即时，

则必有，即，又由（1）知，

则由于，故只需成立即可，

问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.

法一：（三角换元）把条件配方得：，

，所以，

；

法二：（导数）

令则即求函数的导数,椭圆的上半部分

；

法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：

，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.

综上可知.

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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