热门试卷

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）∵f（x）=x3﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，

故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲线方程为y=x3﹣3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），

切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，

下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，

则g′（x0）=6x02﹣6x0，由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

解：（Ⅰ）由题设知：，

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或，或

解得函数的定义域为； 

（Ⅱ）不等式即，

∵x∈R时，恒有

∵不等式解集是R，∴a+8≤3

∴a的取值范围是．       

（1）当a=1时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，

两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤-1或x≥-，

∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[-，+∞）…（5分）

（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a-1≥|2x+1|-|x|，

令h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）=…（7分）

故h（x）min=h（-）=-，从而所求实数a的范围为a-1≥-，即a≥…（10分）

解：(Ⅰ)由于，则函数y=f（x）的图象如图所示，

(Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知，

当且仅当a≥或a＜-2时，函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点，

故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为（∞，-2）∪。