- 绝对值三角不等式
- 共1644题
若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m。
（I）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（Ⅱ）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
（Ⅲ）已知函数f（x）的定义域D={x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}。任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）。
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得|x2-1|<3，即-3
解得-2
∴x的取值范围是（-2，2）；
（Ⅱ）证明：当a、b是不相等的正数时，a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）2（a+b）>0
又
则
于是
（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，则2kπ
同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，则2kπ+π
于是，函数f（x）的解析式是
函数f（x）的大致图象如下：
函数f（x）的最小正周期T=π
函数f（x）是偶函数
当
函数f（x）在
在
已知实数a、b满足关于x的不等式|x2+x+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R恒成立。
（Ⅰ）请验证：=-2，b=-8满足题意；
（Ⅱ）求出所有满足题意的实数、b，并说明理由；
（Ⅲ）若对一切x>2均有不等式 x2+x+b≥(m+2)x-m-15成立，求实数m的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）当=-2，b=-8时，对一切x∈R，
（Ⅱ）
∴当x=-2或x=4时成立，此时|2x2-4x-16|=0，
即
得
（Ⅲ）
即
即
∵x>2，
∴
∴m≤2。
不等式组
正确答案
{6，7，8}
选修4-5：《不等式选讲》
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集．
正确答案
（I）证明：当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7，所以-3＜f（x）＜3；
当x≥5 时，f（x）=x-2-（x-5）=3．
所以-3≤f（x）≤3．…（5分）
（II）由（I）可知，当x≤2时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于-3≥x2-8x+15，等价于（x-4）2+2≤0，解集为∅．
当2＜x＜5时，f（x）≥x2-8x-8x+15，等价于2x-7）≥x2-8x-8x+15，即 x2-10x+22≤0，解得 5-
当x≥5时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于x2-8x+12≤0，解得2≤x≤6，
∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}．
综上，不等式的解集为{x|5-
选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3，
∴a-3=-2，
∴a=1．（5分）
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），
则φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=
∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．（10分）
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